現在位置：范文先生網>教學論文>數學論文>一次作業評講中的研究性學習

一次作業評講中的研究性學習

時間：2022-08-13 01:18:00 數學論文我要投稿

相關推薦

一次作業評講中的研究性學習

湖北省云夢縣夢澤高中   周曉文

這是一次作業中的一道題:
問題：是否存在同時滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由：
（1）漸近線為x+2y=0及x-2y=0;
（2）點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離的最小值為 .
這是一道流傳較廣的試題, 題目綜合性較強，對學生的能力要求較高. 不出所料，作業收上來后，能夠完整做對的學生為數寥寥. 然而我又欣喜地看到，盡管有些學生還不能完整地解決，但是如果循著學生的思路對此題進行重新審視，發現只要發動學生對這些思路進行評判、再探索，這其實是一個很好的研究性學習素材. 于是我專門用了一節課對此題作了評講.
我先出示了學生T對此題的部分解答：
解：當雙曲線焦點在x軸上時（焦點在y軸上的情況他還未考慮出），易知雙曲線的右頂點到點A的距離最短.
由雙曲線漸近線為 , 可設雙曲線方程為 (b>0).
  雙曲線的右頂點為（2b,0）,
    .    故 .
因此這樣的雙曲線存在，且其方程為： .
盡管是部分解答，卻也夠“簡潔”了！當同學們看完解答后，一時竟沒有學生提出疑議——顯然，他們也認為解答中用到的一個“事實”：雙曲線的右頂點到點A的距離最短無疑是正確的. 經過一番思索后，終于有思維慎密、嚴謹的同學對此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根據. 這時我適時地啟發道，數學講求的是嚴密，有時光憑猜測、估計，還不能揭示數學現象的本質特征，這個問題中，究竟是不是雙曲線的右頂點到點A的距離最短，并不是“易知”的，它還需要我們的精確論證. 那么，我們能否對此問題作一研究呢？
同學們一個個情緒高漲，躍躍欲試. 不久，幾個成績較好的學生拿出了他們的研究成果：設雙曲線方程為（ > >0）， A(m,0)(m>0)為x軸正半軸上一點，設P（x,y）為雙曲線上任一點，其中 .
則
      =
      =
      = .
（1）若 ≥ ，亦即 ≥ ，
則當時，最小.
（2）若  即0< < ，亦即 < ，
則當時，      最小.
至此問題已得到解決，當點A的橫坐標滿足0< < 時，雙曲線的右頂點到點A的距離最短（此時點A有可能在右頂點左側，也有可能在右頂點右側，在右頂點右側時 < < ）;當 ≥ 時，雙曲線上有兩點到點A的距離最短（其橫坐標均為 .
依據此結果重新審視學生T的解答，可知答案是正確的，而當時，點A在雙曲線右頂點右側，若右頂點到點A距離最短，則必須滿足 < < ，而檢驗知此式不成立，故應舍去.
畢竟是自己研究得到的成果，同學們的興奮之情溢于言表，這時，我又出示了學生S對此題的解答.
解：假設滿足條件的雙曲線存在，且設其方程為，雙曲線上到點A距離最短的點即以點A為圓心、為半徑的圓與雙曲線相切時的切點.
聯立 ,    消y得： .
  雙曲線與圓相切,
   .             = 1.
故滿足條件的雙曲線存在，且其方程 .
乍一看，學生S的解答是無懈可擊的，并且方法簡捷、明快，顯然，這是在學習了直線與圓錐曲線的位置關系后，學生用判別式討論圓錐曲線與圓錐曲線位置關系的一個大膽的遷移，如果沒有前面的分析作鋪墊，我相信幾乎所有的學生會認為這個解答是完滿的. 但是，正因為有前面對此問題的研究，同學們發現，這個解答剛好是學生S沒有研究的情形，而對于雙曲線焦點在x軸上時的解，這個解答顯然失掉了.
為什么會失去解呢？我不失時機地提出這個問題.
同學們一個個雙眉緊蹙，陷入了思

一次作業評講中的研究性學習

[1] [2] 下一頁

【一次作業評講中的研究性學習】相關文章：

談網絡中的研究性學習08-17

體育教學中“研究性學習”的探討08-17

對“研究性學習”中幾個關系的認識08-17