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波浪增減水的實用數學模型及其數值模擬
1 引言波浪從深水向淺水傳播過程中，由于淺化變形，會在海岸附近發生波浪破碎．波浪破碎過程中將伴隨大量的能量損失，導致波高等波要素發生很大變化，從而在近岸區域出現明顯的增成水現象．自20世紀60年代以來，許多學者采用物理模型實驗和數學模型對波浪增減水現象進行了研究，取得了許多重要研究成果，但由于該現象的復雜性，目前對波浪增減水的模擬大多是先采用考慮能量損失的波能平衡方程得到波高分布，接著采用Longuet-Higgins和stewart原始輻射應力公式或其簡化公式計算輻射應力分量，最后采用深度平均的方程計算平均水位的變化（增減水）．對簡單地形，這種方法是十分有效的，但對復雜地形這種方法存在明顯不足，主要表現在：（1）考慮能量損失的波能平衡方程在用于二線問題時，需要采用其他方程計算波向，而復雜地形上的波向的求解十分困難，特別在焦散區附近更是如此；（2）直接采用Longuet-Higgins和Stewat原始公式計算輻射應力分量比較復雜，需要采用其他方程得到波浪水質點的速度、壓力及波面分布，其簡化公式只適用于簡單的純行進波，而且仍需采用其他方程計算出各點的波向，從而使這種比較常用的波浪增減水模型算法在復雜地形上的應用受到限制．為此，本文給出一種比較實用的波浪增減水數學模型．該模型首先采用考慮能量損失的拋物型緩坡方程得到域內的波浪復振幅分布，避免了波向的確定，接著采用筆者導出的一種新的輻射應力公式計算出輻射應力分量，最后采用深度平均的方程計算波浪破碎產生的增減水．從理論上說，本文方法可有效地用于復雜地形上的增減水問題，但由于缺少復雜地形上的增減水實測數據，因此模型的驗證是在簡單地形上進行的．采用該模型對規則波和不規則波破碎引起的增減水問題進行了數值模擬，并將數值結果和實測數據進行了比較，效果比較滿意．
2數學模型
2．1波浪復振幅數學模型。
考慮波能損失的拋物型緩坡方程為
式中，A為波浪復振幅；X為波浪主傳播方向；k為波數；為縱軸方向（y方向）上k的平均值；C為波相速;Cg為波群速;μ為非線性因子，可由Kirby和Dalrymple提出的非線性頻散模型確定;F＝（Df＋Db）/E，為能量損失因子，E＝pg|A|2/2，為波能，Df和Db分別為底摩擦和波浪破碎引起的能量損失，可采用下面的公式進行計算：
其中p為密度；ƒw為底摩擦系數，可由經驗公式確定；w為波浪圓頻率;H為波高;h為靜水深;g為重力加速度；a1為校正系數(≈)；ƒp為不規則波譜峰頻率;Qb和Hb分別為不規則波當地破波分數和最大破波波高，它們分別由下面的表達式確定：
其中kp為譜峰頻率對應的當地波數;r為破波參數，可由經驗公式r=0.5＋0.4tanh(33So）或實際增況確定，So為初始人射波陡．
2．2輻射應力計算公式
由推導拋物型緩坡方程（1）所做的簡化假定，并將輻射應力分量與式（1）中的待求變量聯系起來，可以導出下面的輻射應力分量計算公式：
式中，Sxx，Syy，Sxy和Syx為輻射應力分量;A*為A的共扼復數；其他變量含義同前．當應用武（1）計算出計算域中各點的復振幅A后，采用式（2）可十分容易地計算出各點的輻射應力分量．
2．3波浪增減水數學模型
對波浪增減水采用深度平均的連續方程和動量方程進行計算，具體表達式如下：
式（1）一（3）構成了復雜地形上的波浪增減水數學模型。但對本文算例，可采用式（4）代替式（3）進行簡化計算．
3數值方法
式（1）采用Crank－Nicolson格式離散，并結合適當的邊界條件采用追趕法進行求解，就得到計算域中復振幅A（x,y）的分布；將A（x,y）代入式（2），可十分容易地計算出域中各點的輻射應力分量，然后將輻射應力分量代人式（4）即可可求出η值．在本文計算中，式（2）和（4）中的一階導數均采用中心差分格式離散．
4數學模型的驗證及結果分析
4．1規則波破碎引起的波浪增減水
采用鄒志利進行的規則波破碎的物理模型實驗結果來驗證本文給出的波浪增減水數學模型．其實驗地形如圖1所示．有關實驗和計算采用的參數如表1所示，其中ho為造波位置的靜水深，Ho為人射波高，T為周期，r為破波參數．圖2給出了四種工況的波浪增減水的實驗值和計算結果的比較，可以看出兩者比較一致，初步說明本文給出的沾染增減水數學模型比較成功的。
4．2不規則波破碎引起的波浪增減水
這里對一種典型地形上不規則波破碎引起的波浪增減水進行數值模擬，在該地形上
Sitve進行了不規則波破碎的物理模型實驗，其實驗結果被一些學者用來驗證數學模型．有關實驗參數和計算參數如表2所示，其中Hrmo為人射位置的不規則波的均方波高，ƒp為譜峰頻率，其他參數同表1．圖3給出了波浪增減水的計算值與實測結果的比較，可以看出兩者相當一致，這進步說明本文模型是比較有效的。
5結束語
波浪增減水是近岸區波浪破碎引起的一種比較常見的現象，針對現有模型存在的問題，本文提出了一種模擬近岸區波浪增減水的實用數學模型．采用該模型對規則波和不規則波破碎引起的增減水進行了數值模擬，數值結果與實驗數據的比較表明，該模型可有效模擬近岸區的波浪增減水現象．
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