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正確區(qū)分正比例和反比例的關系

時間：2022-08-13 04:50:12 數(shù)學論文我要投稿

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正確區(qū)分正比例和反比例的關系

正確區(qū)分正比例和反比例的關系
　　
　　貴州省水城縣紅巖鄉(xiāng)波浪小學徐大艷貴州省水城縣紅巖鄉(xiāng)紅巖小學徐大權
　　
　　【摘要】正比例和反比例這部分內容學生在學習過程中，尤其是在練習時，往往容易弄錯，混淆兩者之間的關系。因此，正確區(qū)分正比例和反比例之間的關系，是非常必要的。
　　
　　【關鍵詞】正比例反比例關系
　　
　　小學六年級的學生在學習正比例和反比例這部分內容時，尤其是在練習過程中容易混淆不清，經(jīng)常弄錯。下面，本文從不同的角度幫助他們正確區(qū)分這兩者的關系，希望對他們的學習會有所幫助。
　　
　　一、正確認識兩者的意義
　　
　　正比例和反比例的意義教材中是安排在從Ｐ39到Ｐ47來進行敘述講解的，且都是通過對實驗中的數(shù)據(jù)進行分析之后概括得出的結論，這樣學生相對易于接受。
　　
　　1.正比例的意義：教材中的表述是“兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。”
　　
　　2.反比例的意義：教材中的表述是“兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。”
　　
　　二、正比例和反比例的表達式
　　
　　（一）正比例關系的表達式
　　
　　如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關系可以用下面的關系式來表示：
　　
　　y/x=k（一定）或y =kx（k一定）
　　
　　（二）反比例關系的表達式
　　
　　如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關系可以用下面的關系式來表示：
　　
　　X×y=k（k一定）或y=kx（k一定）
　　
　　三、正比例和反比例的規(guī)律及實質
　　
　　1.正比例關系中兩種相關聯(lián)的量的變化規(guī)律。正比例關系中兩種相關聯(lián)的量的變化規(guī)律是：同時擴大，同時縮小，比值（或商）不變。
　　
　　例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
　　
　　完成該題練習時，可以先寫出路程、速度和時間三者之間的關系式：速度=路程/時間，已知條件中速度為一定（即常量），根據(jù)“速度=路程/時間”這一關系式，結合正比例的意義，即可知道所行的路程和所用的時間是成正比例關系的。也就是說，當速度一定時，走的路程越多，所花費的時間也越多，反之，亦然。換句話說，路程和時間是成倍增長或縮小的。
　　
　　2.反比例關系的兩種相關聯(lián)的量的變化規(guī)律
　　
　　反比例關系的兩種相關聯(lián)的量的變化規(guī)律是：一種量擴大，另一種量縮小，一種量縮而另一種量則擴大，積不變。
　　
　　例如：當圖上距離一定時，實際距離和比例尺是否成反比例？因為實際距離×比例尺=圖上距離（一定），所以，實際距離和比例尺是成反比例的。
　　
　　四、正比例和反比例的異同點
　　
　　（一）正比例和反比例的相同點
　　
　　1.在事物關系中都包含有三個量， (范文先生網(wǎng)　www.ycxgx.cn) 即有兩個變量和一個常量（即定值）。
　　
　　2.在相關聯(lián)的兩個變量中，當一個變量發(fā)生變化時（擴大或縮小），則另一個變量也隨之發(fā)生變化。
　　
　　3.它們相對應的兩個變量的積或商都是一定的（即常量）。
　　
　　也就是說，在正比例和反比例的兩個相關聯(lián)的變量中，均是一個量變化，另一個量也隨之變化。并且變化方式均屬于擴大（乘以一個數(shù)）或縮小（除以一個數(shù)）若干倍的變化。
　　
　　（二）正比例和反比例的不同點
　　
　　1.正比例的定量（或定值）是兩個變量中相對應的兩個數(shù)（即變量）的比值（或商）。反比例的定量是兩個變量中相對應的兩個數(shù)的積。
　　
　　2.當用圖象來表示正比例或反比例中兩個變量之間的關系時，所畫出來的圖象是不一樣的。正比例的圖象是一條傾斜的直線（又叫斜線）。反比例的圖象是一條曲線，且兩端永遠不會與兩條軸線（即橫軸和縱軸或函數(shù)中所稱的x軸和y軸）相交。
　　
　　（三）正比例、反比例之間可以相互轉化
　　
　　當正比例中的x值（自變量的值）轉化為它的倒數(shù)時，由正比例轉化為反比例；當反比例中的x值（自變量的值）也轉化為它的倒數(shù)時，則由反比例轉化為正比例。
　　
　　需要說明的是，教科書中在“正比例和反比例的意義”的講解中，并沒有指出正比例和反比例關系表達式中常量和變量的取值范圍。根據(jù)正比例的關系式y(tǒng)/x=k（一定）和反比例的關系X×y=k（k一定）可以知道，無論是正比例還是反比例，兩個變量x、y和常量k均不能為零。試想，在正比例y/x=k（一定）中，如果x為0，式子無意義；如果y為0，x不為0，則x的值是不確定的（這時候k的值為0），此時x和y就不存在正比例的說法了。同樣，在反比例X×y=k（k一定）中，如果x和y兩個變量中，只要其中一個為0或兩個都同時為0，則k的值都為0，x和y也無所謂反比例關系了。再說，如果x和y同時為0的話，那么x和y也不叫變量了，都不符合反比例的意義。所以，無論是正比例關系，還是反比例關系中，兩個變量x和y以及常量k都不能為0。
　　
　　因此，當正比例或反比例關系中其中一個變量用字母表示時，要求我們通過討論確定另一個變量的取值范圍的時候，我們就要注意正比例或反比例關系中兩個變量的取值絕對不能為零，否則，就失去意義了。
　　
　　【參考文獻】
　　
　　1.盧江、楊剛主編，義務教育課程標準實驗教科書小學六年級《數(shù)學》下冊[S]，人民教育出版社出版。
　　
　　2.謝鼓平主編，小學六年級數(shù)學《教案與設計》[S]，新疆青少年出版社出版。
　　
　　3.《貴州教育》[J]2012年第3-4期合訂本第65頁中《小學數(shù)學畢業(yè)復習建議》（王艷）。

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