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用分類的數學思想討論冪指法可解的排列組合問題
用分類的數學思想討論冪指法可解的排列組合問題萬海芬
（懷仁縣第一高級職業中學）
排列組合屬于數學中相對獨立的一門分支學科，它研究的核心問題是在給定條件下的某事件可能出現的情況總數。排列組合既是學習概率論與數理統計的理論基礎，又是組合數學中最基本的概念。由于排列組合問題千變萬化，解法靈活，條件隱晦，思想抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應用題時，除了做到排列組合分清，加法乘法原理辯明外，還應注意避免重復或遺漏。
在排列組合問題中，除了最直觀的捆綁法和插空法外，還有常用的冪指法等。這里，主要討論分類的數學思想解決能用冪指法解決的問題。
冪指法屬于分步法的一種特殊情況，完成目標事件的每一步方法的個數是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么總數N=mn,因此我們也可稱它為乘方原理。冪指法一般出現于允許重復的排列問題中。這類問題研究的對象是不受位置約束的元素，一般把n個不同的元素無限制地安排在m個不同的位置上的排列數為N=mn.不難看出這類排列問題允許空位的存在。并且每一個位置中的元素個數不受限制。所以我們可以根據位置的數量進行分類。
例：把三名實習生分配到5個車間實習，共有多少種不同的分法？
利用冪指法解：每名實習生都有5種不同的分法。所以3名實習生共有53=125（種）不同的分法。
利用分類的數學思想去解，根據所選車間的數量進行分類。
第一類：只選一個車間實習。
從5個車間中任選一個車間，3人同去一個車間有C51C33=5（種）分法。
第二類：選兩個車間實習。
首先從五個車間中任取兩個車間，有C52種取法。針對每取出的兩個車間又各有幾種分配方法，不妨以取到1號車間和2號車間為例，（1）1號車間可以去1人。2號車間去2人。這時，1號車間的1人來自已有的3人，余下的2人去2號車間，有C31C22種分配方法。（2）1號車間去2人，2號車間就去1人。這時1號車間的2人來自已有的3人，余下1人去2號車間。有C32C11種分配方法。此時共有C31C22+C32C11=6（種）分配方法。而兩個車間的取法又有C52種取法，所以選兩個車間實習的方法共有C52（C31 C22+C32C11）=60（種）。
第三類：選三個車間實習。
從五個車間中任取三個車間。有C53種取法。三個實習生只能每人去一個車間，又能進行全排列。所以共有C53A33=60（種）分配方法。
綜上所述，共有C51C33+C52（C31C22+C32C11）+C53A33=125（種）不同的分配方法。
相對冪指法，分類思想解決本題較為復雜，但通過幾年的教學發現，(www.ycxgx.cn)能用分類思想解決此題，就能解決一系列相關題目。并為不能用冪指法去解決的題目的解題思路提供幫助。如：
1.將4個不同的小球，放入編號為1、2、3、4的盒子中。
（1）求有多少種不同的放法？
（2）若1號盒子中有兩個球，求有多少種不同的放法？
（3）若沒有空盒子，求有多少種不同的放法？
（4）若有兩個空盒子，求有多少種不同的放法？
解析：
（1）根據所選盒子的數量進行分類。第一類：只取一個盒子，有C41=4（種）取法。4個球會進入同一個盒子。也就有C41=4（種）放法；第二類：取兩個盒子，有C42=6（種）取法。這時針對每取到的2個盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（種）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（種）不同的取法；第三類：取三個盒子，有C43種取法。這時針對每取到的3個盒子又有C41C31C22+C41C32 C11+C42C21C11=36（種）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+ C42C21C11）=144（種）取法；第四類：取4個盒子，共有4個球，相當于做一次全排列。即有A44=24（種）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（種）不同的放法。
（2）若1號盒子中有兩球，相當于剩下兩個球要放進三個盒子。同樣可以根據盒子的數量進行分類。第一類：只取一個盒子，有C31種放法；第二類：取2個盒子，有C32種取法，共有2個小球，可以進行排列，即A22C32.所以共有C42（C31+A22C32）=54（種）不同的放法。
（3）若沒有空盒子，恰好4個盒子全用到了。相當于（1）中的第四類。
（4）若有兩個空盒子，也就是從4個盒子中用到兩個盒子。正好相當于（1）中的第二類。
2.把5個相同的小球放入3個形狀不同的盒子里，如果允許有盒子不放球，求有多少種不同的放法？
解析：可以根據盒子的數量進行分類。第一類：取一個盒子，有C31=3種方法；第二類：取2個盒子，有C32種。針對每取到的兩個盒子，都有4種不同的放法，所以共有4C32=12種放法；第三類：取3個盒子，有1種取法，5個小球可分為1、1、3和1、2、2兩組。在第一組中，3個球可以放進任意一個盒子中，有3種不同的放法，在第二組中，1個球可放進任意一個盒子中。也有三種不同的放法，因為小球相同，所以有3+3=6（種）不同的放法。合起來，共有3+12+6=21（種）不同的放法。
……
在教學過程中發揮典型題的作用，發展學生思維，解決排列組合應用問題是教學的重點，也是難點，更是發展學生思維的好素材。如何抓住重點、突破難點，首先要發揮典型問題的作用。因此，本例是典型題，通過典型題掌握基礎知識、基本方法。但僅僅這樣是不夠的。"數學教學是數學思維活動的教學。"只有發展思維，分析問題、解決問題的能力才能提高，基礎知識、基本方法才能在解決數學問題中用得上、用得好。
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