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一類含絕對值函數的探究
一類含絕對值函數的探究作者/許飄勇
在講解不等式選講時，有道填空題要求解函數y=2|x-1|+|x-2|+|4x-3|的單調區間和值域，若用零點分區間法求出分段函數的表達式，再用圖象，得出單調區間和值域，雖然思路簡單，但耗時費力，準確率低。筆者思考能不能根據參數就可畫出函數草圖，數形結合就易得答案。
對于可化為形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1<a2<…<an且k1k2…kn≠0）的函數
當k1+k2+…+kn>0時，
若x∈（∞，a1],則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）
所以函數在（∞，a1]單調遞減。
若x∈[an,+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以函數在[an,+∞）單調遞增。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
當f（ai）<f（ai+1）時，函數在[ai,ai+1]單調遞增；
當f（ai）>f（ai+1）時，函數在[ai,ai+1]單調遞減；
當f（ai）=f（ai+1）時，函數在[ai,ai+1]的圖象是（ai,f（ai）），（ai+1,
f（ai+1））為端點的水平線段。
若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）},(www.ycxgx.cn)則此時值域為[M,+∞）。
當k1+k2+…+kn<0時，
若x∈（-∞，a1],則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=
-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）
所以圖象在（-∞，a1]單調遞增。
若x∈[an,+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以圖象在[an,+∞）單調遞減。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
當f（ai,）<f（ai+1）時，在[ai,ai+1]單調遞增；
當f（ai,）>f（ai+1）時，在[ai,ai+1]單調遞減；
當f（ai,）=f（ai+1）時，在[ai,ai+1]圖象是（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））為端點的水平線段。
若記N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},則此時值域為（-∞，N]
當k1+k2+…+kn=0時，
若x∈（-∞，a1],則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）=（k1a1+k2a2+…+knan）
所以圖象在（-∞，a1]是以（a1,f（a1））為端點方向向左的水平射線。
若x∈[an,+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）=-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以圖象在[an,+∞）是以（an,f（an））為端點方向向右的水平射線。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
當f（ai）<f（ai+1）時，在[ai,ai+1]單調遞增；
當f（ai）>f（ai+1）時，在[ai,ai+1]單調遞減
當f（ai）=f（ai+1）時，在[ai,ai+1]圖象是（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））為端點的水平線段。
若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）},N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},則值域為[M,N].
總之，形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1<a2<…<an且k1k2…kn≠0）的函數。
1.定義域x∈（-∞，+∞）。
2.圖象、單調性、值域。整個圖象是連續不斷的折線。
當k1+k2+…+kn>0時，圖象為W型。在（-∞，a1]單調遞減，在[an,+∞）單調遞增，中間是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線。若記M=min{f（a1），f（a2）…
f（an）},則值域為[M,+∞）。
當k1+k2+…+kn<0時，圖象為M型，在（-∞，a1]單調遞增，在[an,+∞）單調遞減，中間是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線。若記N=max{f（a1），f（a2）…
f（an）},則值域為（-∞，N].
當k1+k2+…+kn=0時，圖象為Z型，在（-∞，a1]是以（a1,f（a1））為端點方向向左的水平射線，在[an,+∞）是以（an,f（an））為端點方向向右的水平射線，中間是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線。若記M=min{f（a1），f（a2）…
f（an）},N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},則值域為[M,N].
所以y=2|x-1|+|x-2|-|4x-12|可化為y=2|x-1|+|x-2|-4|x-3|,先描（1,-7），（2-2），（3,5），計算2+1-4=-1,可得圖象為M型，易得單調增區間為（-∞，3],單調減區間為[3,+∞）];值域為（-∞，5].
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