下學期 5.1 向量

下學期 5.1 向量

一．教學目標

　　1．理解向量、零向量、單位向量、相等向量的意義，并能用數學符號表示向量；

　　2．理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；

　　3．了解平行向量、共線向量、和相等向量的意義，并會判斷向量的平行、相等、共線；

　　4．通過對向量的學習，使學生對現實生活的向量和數量有一個清楚的認識，培養學生進行唯物辯證思想.

二．教學具準備

　　直尺、投影儀．

三．教學過程

　　1．設置情境

　　師：（邊畫圖邊講解）美國“小鷹”號航空母艦導彈發射處接到命令：向1200公里處發射兩枚戰斧式巡航導彈（精度10米左右，射程超過2000公里），試問導彈是否能擊中伊拉克的軍事目標？   

　　生：不能，因為沒有給定發射的方向．

　　師：現實生活中還有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？

　　生：力、速度、加速度等有大小也有方向，溫度和長度只有大小沒有方向．

　　師：對！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我們把既有大小又有方向的量叫做向量．數學中用點表示位置，用射線表示方向．常用一條有向線段表示向量．在數學中，通常用點表示位置，用射線表示方向．

　　（1）意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等

　　（2）向量的表示方法：

　　①幾何表示法：點和射線

　　有向線段——具有一定方向的線段

　　有向線段的三要素：起點、方向、長度

　　符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段記作 （注意起訖）．

　　②字母表示法： 可表示為 （印刷時用黑體字）

　　例   用1cm表示5n mail（海里）

　　（3）模的概念：向量 的大小——長度稱為向量的模。

　　記作：| |，模是可以比較大小的

　　注意：①數量與向量的區別：

　　數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；

　　向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。

　　②從19世紀末到20世紀初，向量就成為一套優良通性的數學體系，用以研究空間性質。

　　2．探索研究（學生自學概念）

　　（1）介紹向量的一些概念

　　師：長度為零的向量叫什么向量？如何表示？長度為1的向量叫做什么向量？是不是只有一個？（學生看書回答）

　　生：長度為零的向量叫做零向量，表示為：0；長度等于1的向量叫做單位向量，有許多個，每個方向都有一個．

　　師：滿足什么條件的兩個向量是相等向量？符號如何表示？單位向量是相等向量嗎？

　　生：如果兩個向量大小相等且方向相同，那么這兩個向量叫做相等向量，a=b單位向量不一定是相等向量，單位向量的方向不一定相同．

　　師：有一組向量，它們的方向相同或相反，那么這組向量有什么關系？

　　生：平行．

　　師：對！我們把方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量，符號如何表示？如果我們把一組平行向量的起點全部移到同一點 ，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？

　　生：是平行向量，a//b，各向量的終點都在同一條直線上．

　　師：對！由此，我們把平行向量又叫做共線向量．

　　（2）例題分析

　　【例1】判斷下列命題真假或給出問題的答案

　　（1）平行向量的方向一定相同？

　　（2）不相等的向量一定不平行.

　　（3）與零向量相等的向量是什么向量？

　　（4）與任何向量都平行的向量是什么向量？

　　（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？

　　（6）兩個非零向量相等的充要條件是什么？

　　（7）共線向量一定在同一直線上嗎？

　　解：（1）根據定義：平行向量可以方向相反，故命題（1）為假；

　　　　（2）平行向量沒有長、短要求，故命題（2）為假；

　　　　（3）只有零向量；

　　　　（4）零向量；

　　　　（5）平行向量；

　　　　（6）模相等且方向相同；

　　　　（7）不一定，只要它能被平移成共線就行．

　　說明：零向量是向量，只不過它的起、終點重合．依定義、其長度為零．

　　【例2】如圖，設 是正六邊形 的中心，分別寫出圖中與向量 、 ，相等的向量．

　　解：

　　　　

　　　　

　　練習：（投影）在上題中

　　變式一，與向量 長度相等的向量有多少個？（11個）

　　變式二，是否存在與向量 長度相等，方向相反的向量？（存在）

　　變式三，與向量 共線的向量有哪些？（有 、 和 ）

　　3．演練反饋（投影）

　　（1）下列各量中是向量的是（      ）

　　A．動能　　B．重量　　C．質量　　D．長度

　　（2）等腰梯形 中，對角線 與 相交于點 ，點 、 分別在兩腰 、 上， 過 且 ，則下列等式正確的是（      ）

　　A．　　B． 　　C．　　D．

　　（3）物理學中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共線向量

參考答案：（1）B；  （2）D；    （3）相等，相反

4．總結提煉

　　（1）描述一個向量有兩個指標：模、方向．

　　（2）平行概念不是平面幾何中平行線概念的簡單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對向量，它與長度無關，它與是否真的不在一條直線上無關．

　　（3）向量的圖示，要標上箭頭及起、終點，以體現它的直觀性．

四．板書設計

向    量

1．向量的定義

2．表示法                        6．例題

3．零向量和單位向量              7．演練反饋

4．平行向量（共線向量）          8．總結提煉

5．相等向量

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