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空間向量對(duì)立體幾何教與學(xué)的影響
空間向量對(duì)立體幾何教與學(xué)的影響作者/ 楊國(guó)棟
摘 要：在立體幾何中引入空間向量這一內(nèi)容是新課程改革的必然趨勢(shì)。空間向量的出現(xiàn)為學(xué)生提供了解決問(wèn)題的新途徑，但是容易造成空間向量就是“萬(wàn)能”的思想，很多學(xué)生完全放棄了傳統(tǒng)的綜合法，試圖通過(guò)空間向量的方法來(lái)解決一切立體幾何問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：空間向量；立體幾何；教學(xué)影響
一、空間向量的引入增加了立體幾何教學(xué)的內(nèi)容
空間向量的引入豐富了立體幾何教學(xué)的內(nèi)容，這主要體現(xiàn)在課程理念變化以及課程內(nèi)容改變兩個(gè)方面。
1.在課程理念方面
新課程注重學(xué)習(xí)方式的改革，要求學(xué)生轉(zhuǎn)變單一的被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)過(guò)程中的發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)識(shí)活動(dòng)凸顯出來(lái)，在教師的積極引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我的“再創(chuàng)造”。在立體幾何中引入空間向量正是適應(yīng)新課程理念的表現(xiàn)，空間向量的出現(xiàn)為學(xué)生提供了解決問(wèn)題的新途徑，融合了計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)知識(shí)，直接利用向量的方式提出問(wèn)題為學(xué)生解答立體幾何題目提供了新的解題方法。這就密切了數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性。同時(shí)，空間向量的引入，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成和發(fā)展，提高了學(xué)生的實(shí)踐能力。
2.在教學(xué)內(nèi)容方面
空間向量作為一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)體系納入教材當(dāng)中，涵蓋了空間向量的定義和原理、線性運(yùn)算、直角坐標(biāo)運(yùn)算、兩個(gè)向量的數(shù)量積、空間向量在立體幾何的應(yīng)用等方面，這豐富了立體幾何的教學(xué)內(nèi)容。
二、空間向量的引入降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度
空間向量降低了學(xué)習(xí)的難度體現(xiàn)在向量的特征上。一方面，向量是代數(shù)的，因此可以對(duì)它進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算，這就豐富了運(yùn)算形式，也使抽象的概念有了具體的形式。以運(yùn)算為載體，發(fā)揮空間想象能力，就可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)算、證明以及演繹。另一方面，向量又是幾何的，因此可以直接描述、想象、替代向量中點(diǎn)、線、面等對(duì)象，并可觀察到各研究對(duì)象之間的基本關(guān)系。這就為一些計(jì)算能力比較強(qiáng)但空間想象能力較弱的學(xué)生解題提供了新的出路，降低了其學(xué)習(xí)的難度。例如，證明以⊙O的直徑AB為一邊的圓內(nèi)接△ABC是直角三角形。（圖略，也就是求證∠BAC是直角）
因此AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形。
三、空間向量的引入降低了學(xué)生的空間想象力
空間向量的引入，為學(xué)生解答立體幾何問(wèn)題提供了新的方法。但是也有不少人認(rèn)為，空間向量的引入削弱了學(xué)生的邏輯思維能力，降低了學(xué)生的空間想象能力。空間向量的引入把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，密切了代數(shù)與幾何的關(guān)系，豐富了學(xué)生的思維方式，但是容易造成空間向量就是“萬(wàn)能”的思想，很多學(xué)生完全放棄了傳統(tǒng)的綜合法，試圖通過(guò)空間向量的方法來(lái)解決一切立體幾何問(wèn)題。運(yùn)用空間向量來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題這一思路的推廣還需要注意從以下幾方面來(lái)努力：
1.采用行之有效的教學(xué)方式
興趣和好奇心是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生積極性的內(nèi)在動(dòng)力。這就需要教師從學(xué)生的年齡特征和心理特點(diǎn)出發(fā)，篩選出與該模式相適應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。具體來(lái)說(shuō)，在空間向量的學(xué)習(xí)中，可采取啟發(fā)式和探究式。教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師主要扮演引導(dǎo)者和促進(jìn)者的角色，從而培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、自主解決問(wèn)題、探索問(wèn)題的能力。當(dāng)然，對(duì)于一些較難的知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的復(fù)習(xí)，提高知識(shí)的概括化水平，建立知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，引導(dǎo)他們通過(guò)獨(dú)立思考、積極探索，生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)，自覺(jué)掌握科學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生將知識(shí)創(chuàng)造性地運(yùn)用于實(shí)際。如，在學(xué)習(xí)“空間向量”這一概念時(shí)，教師可以利用學(xué)生原有知識(shí)復(fù)習(xí)平面向量和立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)。如，教師可以設(shè)置以下問(wèn)題：（1）空間兩條直線的位置關(guān)系是：平行、相交、異面，空間兩個(gè)向量的關(guān)系？（2）空間兩條平行直線確定一個(gè)平面，空間中兩個(gè)平行向量確定一個(gè)平面？（3）空間兩條相交直線確定一個(gè)平面，空間中兩個(gè)不平行向量確定一個(gè)平面？再如這一例題，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，B1B=2，求異面直線BC1和A1C所成的角（圖略）。教師可以幫助學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生作出BC和B1C1的中點(diǎn)M和N，然后利用底面三角形的高M(jìn)A、側(cè)棱MN以及底面三角形的邊對(duì)MC這三條互相垂直的直線來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)設(shè)置
問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生一步步地將空間向量運(yùn)用于具體的數(shù)學(xué)習(xí)題中。
2.在學(xué)習(xí)空間向量的同時(shí)不可忽視綜合法
雖然空間向量確實(shí)在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但是綜合法的運(yùn)用也至關(guān)重要，綜合法對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的習(xí)慣、提高空間想象力以及邏輯思維能力有很大的影響。因此，在使用空間向量時(shí)，首先要注重一題多解。要教授學(xué)生不能一味地以解決問(wèn)題為目的，而要鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度，采用多種方式來(lái)解決問(wèn)題，培養(yǎng)一題多解的思維方式，舉一反三，靈活多變。其次，教師在教學(xué)中要注意對(duì)空間向量法與綜合法教學(xué)的平衡性，要精心
編制和選擇恰當(dāng)?shù)睦}和習(xí)題，特別是挑選一些利用綜合法解答
更為便利的立體幾何習(xí)題，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用綜合法思考問(wèn)題的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)使用綜合法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，通過(guò)一題多解的方式實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的目的。
在立體幾何中引入空間向量這一內(nèi)容是新課程改革的必然趨勢(shì)。空間向量引入立體幾何教學(xué)中，對(duì)于擺脫“形到形”這一傳統(tǒng)綜合法，豐富解題方式具有重要作用，在一定程度上降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，但是在運(yùn)用空間向量時(shí)，也不能一味地突出其優(yōu)勢(shì)，要重視其缺點(diǎn)，與綜合法并用，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。
參考文獻(xiàn)：
［1］黃長(zhǎng)春。利用空間向量方法解決立體幾何的問(wèn)題［J］。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011.
［2］劉福亮。向量法在立體幾何解題中的妙用［J］。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009.
（作者單位 山西省大同大學(xué)朔州師范分校）
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