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小波轉換影像壓縮模式之研究
摘要
由於在現今資訊流通普遍的社會中，影像的需求量越來越大，影像的數位化是必然的趨勢。然而在數位化過的影像所占的資料量又相當龐大，在傳輸與處理上皆有所不便。將資料壓縮是最好的方法。如今有一新的模式，在壓縮率及還原度皆有不錯的表現，為其尚未有一標準的格式，故在應用上尚未普及。但在不久的未來，其潛力不可限量。而影像之於印刷有密不可分的關系。故以此篇文章介紹小波（WAVELET）轉換的歷史淵源。小波轉換的基礎原理。現今的發展對印刷業界的沖擊。影像壓縮的未來的發展。
壹、前言
由於科技日新月異，印刷已由傳統印刷走向數位印刷。在數位化的過程中，影像的資料一直有檔案過大的問題，占用記憶體過多，使資料在傳輸上、處理上都相當的費時，現今個人擁有True Color的視訊卡、24-bit的全彩印表機與掃描器已不再是天方夜譚了，而使用者對影像圖形的要求，不僅要色彩繁多、真實自然，更要搭配多媒體或動畫。但是相對的高畫質視覺享受，所要付出的代價是大量的儲存空間，使用者往往只能眼睜睜地看著體積龐大的圖檔占掉硬碟、磁帶和光碟片的空間；美麗的圖檔在親朋好友之間互通有無，是天經地義的事，但是用網路傳個640X480 True Color圖形得花3分多鐘，常使人哈欠連連，大家不禁心生疑慮，難道圖檔不能壓縮得更小些嗎？如此報業在傳版時也可更快速。所以一種好的壓縮格式是不可或缺的，可以使影像所占的記憶體更小、更容易處理。但是目前市場上所用的壓縮模式，在壓縮的比率上并不理想，失去壓縮的意義。不然就是壓縮比例過大而造成影像失真，即使數學家與資訊理論學者日以繼夜，卯盡全力地為lossless編碼法找出更快速、更精彩的演算法，都無可避免一個尷尬的事實：壓縮率還是不夠好。再說用來印刷的話就造成影像模糊不清，或是影像出現鋸齒狀的現象。皆會造成印刷輸出的問題。影像壓縮技術是否真的窮途末路？請相信人類解決難題的潛力是無限的。既然舊有編碼法不夠管用，山不轉路轉，科學家便將注意力移轉到WAVELET轉換法，結果不但發現了滿意的解答，還開拓出一條光明的坦途。小波分析是近幾年來才發展出來的數學理論。小波分析，無論是作為數學理論的連續小波變換，還是作為分析工具和方法的離散小波變換，仍有許多可被研究的地方，它是近幾年來在工具及方法上的重大突破。小波分析是傅利葉（Fourier）分析的重要發展，他保留了傅氏理論的優點，又能克服其不足之處。可達到完全不失真，壓縮的比率也令人可以接受。由於其數學理論早在1960年代中葉就有人提出了，而到現在才有人將其應用於實際上，其理論仍有相當大的發展空間，而其實際運用也屬剛起步，其後續發展可說是不可限量。故研究的動機便由此而生。
貳、 WAVELET的歷史起源
WAVELET源起於Joseph Fourier的熱力學公式。傅利葉方程式在十九世紀初期由Joseph Fourier (1768-1830)所提出，為現代信號分析奠定了基礎。在十九到二十世紀的基礎數學研究領域也占了極重要的地位。Fourier提出了任一方程式，甚至是畫出不連續圖形的方程式，都可以有一單純的分析式來表示。小波分析是近幾年來才發展出來的數學理論為傅利葉方程式的延伸。
小波分析方法的提出可追溯到1910年Haar提出的小波規范正交基。其後1984年，法國地球物理學J. Morlet在分析地震波的局部性質時，發現傳統的傅利葉轉換，難以達到其要求，因此引進小波概念於信號分析中，對信號進行分解。隨後理論物理學家A.Grossman對Morlet的這種信號根據一個確定函數的伸縮，平移系 { a -1/2 Ψ[(x-b)/a] ；a,b?R ,a≠0}展開的可行性進行了研究，為小波分析的形成開了先河。
1986年，Y. Meyer建構出具有一定衰減性的光滑函數Ψj,k(x)，其二進制伸縮與平移系 {Ψj,k(x)=√2jΨ(2jx-k)；j,k?Z}構成L2（R）的規范正交基。1987年，Mallat巧妙的將多分辨分析的思想引入到小波分析中，建構了小波函數的構造及信號按小波轉換的分解及重構。1988年Daubechies建構了具有正交性（Orthonormal）及緊支集（Compactly Supported）；及只有在一有限區域中是非零的小波，如此，小波分析的系統理論得到了初步建立。
三、 WAVELET影像壓縮簡介及基礎理論介紹
一、 WAVELET的壓縮概念
WAVELET架在三個主要的基礎理論之上，分別是階層式邊碼(pyramid coding)、濾波器組理論(filter bank theory)、以及次旁帶編碼(subband coding)，可以說wavelet transform統合了此三項技術。小波轉換能將各種交織在一起的不同頻率組成的信號，分解成不相同頻率的信號，因此能有效的應用於編碼、解碼、檢測邊緣、壓縮數據，及將非線性問題線性化。良好的分析局部的時間區域與頻率區域的信號，彌補傅利葉轉換中的缺失，也因此小波轉換被譽為數學顯微鏡。
WAVELET并不會保留所有的原始資料，而是選擇性的保留了必要的部份，以便經由數學公式推算出其原始資料，可能不是非常完整，但是可以非常接近原始資料。至於影像中什度要保留，什麼要舍棄，端看能量的大小儲存（跟波長與頻率有關）。以較少的資料代替原來的資料，達到壓縮資料的目的，這種經由取舍資料而達到壓縮目地的作法，是近代數位影像編碼技術的一項突破。即是WAVELET的概念引入編碼技術中。
WAVELET轉換在數位影像轉換技術上算是新秀，然而在太空科技早已行之有年，像探測衛星和哈柏望遠鏡傳輸影像回地球，和醫學上的光纖影像，早就開始用WAVELET的原理壓縮/還原影像資料，而且有壓縮率極佳與原影重現的效果。
以往lossless的編碼法只著重壓縮演算法的表現，將數位化的影像資料一絲不漏的送去壓縮，所以還原回來的資料和原始資料分毫無差，但是此種壓縮法的壓縮率不佳。 將數位化的影像資料轉換成利於編碼的資料型態，控制解碼後影像的品質，選擇適當的編碼法，而且還在擷取圖形資料時，先幫資料「減肥」。如此才是WAVELET編碼法主要的觀念。
二、 影像壓縮過程
原始圖形資料 →
色彩模式轉換 → DCT轉換 → 量化器 → 編碼器 → 編碼結束
三、 編碼的基本要素有三點
（一） 一種壓縮/還原的轉換可表現在影像上的。
（二） 其轉換的系數是可以量化的。
（三） 其量化的系數是可以用函數編碼的。
四、 現有WAVELET影像壓縮工具主要的部份
（一） Wavelet Transform（WAVELET轉換）：將圖形均衡的分割成任何大小，最少壓縮二分之一。
（二） Filters（濾鏡）：這部份包含Wavelet Transform，和一些著名的壓縮方法。
（三） Quantizers（量化器）：包含兩種格式的量化，一種是平均量化，一種是內插量化，對編碼的架構有一定的影響。
（四） Entropy Coding（熵編碼器）：有兩種格式，一種是使其減少，一種為內插。
（五） Arithmetic Coder（數學公式）：這是建立在Alistair Moffat's linear time coding histogram的基礎上。
（六） Bit Allocation（資料分布）：這個過程是用整除法有效率的分配任何一種量化。
肆、 WAVELET影像壓縮未來的發展趨勢
一、 在其結構上加強完備性。
二、 修改程式，使其可以處理不同模式比率的影像。
三、 支援更多的色彩。可以處理RGB的色彩，像是YIQ、HUV的色彩定義都可以分別的處理。
四、 加強運算的能力，使其可支援更多的影像格式。
五、 使用WAVELET轉換藉由消除高頻率資料增加速率。
六、 增加多種的WAVELET。如：離散、零元樹等。
七、 修改其數學編碼器，使資料能在數學公式和電腦的位元之間轉換。
八、 增加8X8格的DCT模式，使其能做JPEG的壓縮。
九、 增加8X8格的DCT模式，使其能重疊。
十、 增加trellis coding。
十一、 增加零元樹。
現今已有由中研院委托國內學術單位研究，也有不少的研究所的碩士論文發表。國外更是如火如荼的展開研究。相信實際應用於實務上的日子指日可待。
伍、 影像壓縮研究的方向
1. 輸入裝置如何捕捉真實的影像而將其數位化。
2. 如何將數位化的影像資料轉換成利於編碼的資料型態。
3. 如何控制解碼影像的品質。
4. 如何選擇適當的編碼法。
5. 人的視覺系統對影像的反應機制。
小波分析，無論是作為數學理論的連續小波變換，還是作為分析工具和方法的離散小波變換，仍有許多可被研究的地方，它是近幾年來在工具及方法上的重大突破。小波分析是傅利葉（Fourier）分析的重要發展，他保留了傅氏理論的優點，又能克服其不足之處。
陸、 在印刷輸出的應用
WAVELET影像壓縮格式尚未成熟的情況下，作為印刷輸出還嫌太早。但是後續發展潛力無窮，尤其在網路出版方面，其利用價值更高，WAVELET的出現就猶如當時的JPEG出現，在影像的領域中掀起一股旋風，但是WAVELET卻有JPEG沒有的優點，JPEG乃是失真壓縮，且解碼後復原程度有限，能在網路應用，乃是由於電腦的解析度并不需要太高，就可辨識其圖形。而印刷所需的解析度卻需一定的程度。WAVELET雖然也是失真壓縮，但是解碼後卻可以還原資料到幾乎完整還原，如此的壓縮才有存在的價值。
有一點必須要提出的就是，并不是只要資料還原就可以用在印刷上，還需要有解讀其檔案的RIP，才能用於數位印刷上。等到WAVELET的應用成熟，再發展其適用的RIP，又是一段時間以後的事了。
在網路出版上已經有瀏覽器可以外掛讀取WAVELET檔案的軟體了，不過還是測試版，可是以後會在網路上大量使用，應該是未來的趨勢。對於網路出版應該是一陣不小的沖擊。
圖像壓縮的好處是在於資料傳輸快速，減少網路的使用費用，增加企業的利潤，由於傳版的時間減少，也使印刷品在當地印刷的可能性增高，減少運費，減少開支，提高時效性，創造新的商機。
柒、 結論
WAVELET的理論并不是相當完備，但是據現有的研究報告顯現，到普及應用的階段，還有一段距離。但小波分析在信號處理、影像處理、量子物理及非線性科學領域上，均有其應用價值。國內已有正式論文研究此一壓縮模式。但有許多名詞尚未有正式的翻譯，各自有各自的翻譯，故研究起來倍感辛苦。但相信不久即會有正式的定名出現。這也顯示國內的研究速度，遠落在外國的後面，國外已成立不少相關的網站，國內僅有少數的相關論文。如此一來國內要使這種壓縮模式普及還有的等。正式使用於印刷業更是要相當時間。不過對於網路出版仍是有相當大的契機，國內仍是可以朝這一方面發展的。站在一個使用其成果的角度，印刷業界也許并不需要去了解其高深的數理理論。但是在運用上，為了要使用方便，和預估其發展趨勢，影像壓縮的基本概念卻不能沒有。本篇文章單純的介紹其中的一種影像壓縮模式，目的在為了使後進者有一參考的依據，也許在不久的將來此一模式會成為主流，到時才不會手足無措。
參考文獻：
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2.張維谷.小宇宙工作室，初版1994，影像檔寶典.WINDOWS實作（上）， 峰資訊股份有限公司。
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7.曾泓瑜、陳曜州，民八十三年，最新數位訊號處理技術（語音、影像處理實務），全欣資訊圖書。
附錄：
嵌入式零元樹小波轉換、 階層式嵌入式零元樹小 波轉換、階層式影像傳送 及漸進式影像傳送
目前網路最常用的靜態影像壓縮模式為JPEG格式或是GIF格式等。但是利用這些格式編碼完成的影像，其資料量是不變的，其接受端必須完整地接受所有的資料量後才可以顯示出編碼端所傳送的完整影像。這個現象最常發生在利用網路連結WWW網站時，我們常常都是先接收到文字後，其網頁上的圖形才，慢慢的一小部份一小部份顯示出來，有時網路嚴重塞車，圖形只顯示一點點後就要再等非常久的時間才再有一點點顯示出來，甚至可能斷線了，使得使用者完全不知道在接收什麼圖案的圖形，無形中造成網路資源的浪費。此缺點之改善，可以使用嵌入式零元樹小波轉換(EZW)來完成。
階層式影像傳送系統的主要功能為允許不同規格之顯示裝置或解碼器可以從同一編碼器中獲得符合其要求之訊號，如此不需要對於不同的解碼器設計不同的編碼器配合利用之，進而增加了其應用的 范圍，及減低了所架設系統的復雜度，也可以節省更多的設備費用。利用Shapiro所提出的嵌入式零元樹小波轉換(EZW)技術來設計階層式影像傳送系統時，其編碼的效果不是很好。主要的原因是，利用(EZW)技術所設計的編碼器是根據影像的全解析度來加以編碼的，這使得擁有不同解析度與碼率要求的解碼器，無法同時分享由編碼器所送出來的位元流。雖然可以利用同時播放(Simulcast)技術來加以克服之，但是該技術對於同一影像以不同解析度獨立編碼時，將使得共同的低通次頻帶(Lowpass Subband)被重復的編碼與傳送，而產生了相當高的累贅(Redundancy)。
基於上述情況，有人將嵌入式零元樹小波轉換(EZW)技術加以修改之，完成了一個新式的階層式影像傳送系統。該技術為階層式嵌入的零元樹小波轉換(Layered Embedded Zerotree Wavelet，簡稱 LEZW技術。這個技術使我們所設計出來的階層式影像傳送系統，可以在編碼傳送前預先指定圖層數目、每層影像的解析度與碼率。
LEZW技術是將EZW技術中的連續近似量化(SAQ)加以延伸應用之，而EZW傳統的做法是將SAQ應用於全部的小波轉換系數上。然而在LEZW技術中，從基層(Base Layer)開始SAQ一次僅用於一個 圖層(Layer)的編碼，直到最高階析度的圖層為止。當編碼的那一圖層碼率利用完時，即表示該圖層編碼完畢可以再往下一圖層編碼之。為了改善LEZW的效率，在較低圖層的SAQ結果應用於較高圖層的SAQ過程中，基於這種編碼的程序，LEZW演算法則可以在每一圖層平均碼率的限制下，重建出不同解析度的影像。因此，LEZW非常適合用於設計階層式影像傳送系統。
LEZW技術也可以應用於漸進式傳送，對於一個漸進式影像傳送系統而言，控制其解析度將可以改善重建影像的視覺品質。而常用的漸進式傳送方法有使用向量量化器或零元樹資料結構編碼演算法則。但是向量量化器需要較大的記憶體及對與傳送中的錯誤敏威，而利用EZW技術所設計的漸進式影像傳送系統，可以改善這些缺點，所以享有較好的效能。但是它也有缺點就是，應用於漸進式傳送時是根據全解析度來做編碼及傳送，因此在低碼率的限制之下時，若用全解析度來顯示影像將使得影像模糊不清。所以在低碼率傳送時的影像以較低的解析度來顯示時，則可以使影像的清晰度有所改善。
所以將LEZW技術延伸至漸進式傳送，在編碼之前可以先設定每一級(Stage)的解析度與傳送每一級所累加的碼率(Accumulated Rate)，然後再編碼與傳送之。該系統在低碼率時用低解析度來顯示影像，在較高碼率時則以高解析度來顯示影像，將改善漸進式傳送的視覺品質。此系統在編碼傳送的過程中，允許傳送的位元流在任一點位置被中斷停止，而接收端可以由所接收到的資料，將影像重建在資料中斷時的解析度下。
漸進式影像傳送與階層式影像傳送的設計方法是相似的，只不過在傳送方法上兩者有相當大的不同。在階層式影像傳送系統中，所有圖層的資料是平行的一起傳送出去的。而漸進式影像傳送則是以級對級(Stage-by-Stage)的方式傳送的。因此，利用LEZW技術所設計的漸進式傳送可看做是單一圖層(Single-Layer)系統，其解析度與傳送都是可以控制的。如此網路資源的浪費，便可得到某種程度上的解決。
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