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分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用作者/王開華
考點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理解決“分給問題”
【例】有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽：
（1）每位學(xué)生必須參加且只能參加一項(xiàng)競賽，有多少種不同的結(jié)果？
（2）每項(xiàng)競賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同結(jié)果？
【自主解答】
（1）學(xué)生可以選擇競賽項(xiàng)目，而競賽項(xiàng)目對學(xué)生并無條件的限制，所以每位學(xué)生均有3個不同的機(jī)會，要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步，而每位學(xué)生均有3個不同機(jī)會，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得3×3×3×3=34=81種不同結(jié)果。
（2）競賽項(xiàng)目可挑選學(xué)生，而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會，每一個項(xiàng)目可挑選4位學(xué)生中的一位，要完成這件事必須是每項(xiàng)競賽所參加的學(xué)生全部確定下來才行，因此分三步，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4×4×4=43=64種不同結(jié)果。
【搖身一變】
保持例題條件不變，若每位學(xué)生只能參加一項(xiàng)競賽，且每項(xiàng)競賽只許一位學(xué)生參加，則共有多少種不同結(jié)果？
解：第一個項(xiàng)目可挑選4個學(xué)生中的一位，有4種不同的選法；第二個項(xiàng)目可從剩下的3個學(xué)生中選一位，有三種不同的選法；第三個項(xiàng)目可從剩余的2位學(xué)生中選一位，有兩種不同的選法，故共有4×3×2=24種不同結(jié)果。
【規(guī)律總結(jié)】
解答此題，每位學(xué)生選定競賽或每項(xiàng)競賽選定學(xué)生對完成整個事件的影響至關(guān)重要，否則容易把兩問結(jié)果混淆，其原因是對題意理解不清，對事情完成的方式有錯誤的認(rèn)識。
【變式之作】
（1）8本不同的書，任選其中3本分給3個學(xué)生，每人一本，有多少種不同的分法？
（2）將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？
（3）3位旅客到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？
解：（1）分三步，每位學(xué)生取書一本，第1、2、3個學(xué)生分別有8、7、6種取法，因而由分布乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=8×7×6=336（種）。
（2）完成這件事可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3個郵筒中任選一個，因此有3種投法；第二步投第二封信，同樣有3種投法；第三步投第三封信，也同樣有3種投法；第四步投第四封信，仍然有3種投法。由分布乘法計(jì)數(shù)原理，可得出不同的投法共有N=3×3×3×3=81（種）。
（3）分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而不同的方法共有N=4×4×4=64（種）。
（作者單位 甘肅省古浪縣定寧初級中學(xué)）
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