求數列通項公式的解題思路

求數列通項公式的解題思路

　　求數列通項公式的解題思路
　　
　　廣東省高州市第二中學 梁志華
　　
　　數列既是高中數學的重要內容，也是學習高等數學的基礎，因此，每年高考對本章內容均作較全面的考查，而且經常是以綜合題、主觀題的形式出現，難度較大，不過一般分小題、有梯度設問，往往是第1小題就是求數列的通項公式，難度適中，一般考生可突破，爭取分數，而且是做第2小題的基礎，因此，求數列通項公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數列通項公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結合教學實踐，談談求數列通項公式的解題思路。
　　
　　一、已知數列的前幾項
　　
　　已知數列的前幾項，求通項公式。通過觀察找規律，分析出數列的項與項數之間的關系，從而求出通項公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。
　　
　　例1、求數列的通項公式
　　
　　（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
　　
　　（2）9，99，999，……
　　
　　分析：（1）0=12——1/2，每一項的分子是項數的平方減去1，分母是項數加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實，該數列各項可化簡為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
　　
　　（2）各項可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
　　
　　此題型主要通過讓學生觀察、試驗、歸納推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質，從而培養學生的思維能力。
　　
　　二、已知數列的前n項和Sn
　　
　　已知數列的前n項和Sn，求通項公式an，主要通過an與Sn的關系轉化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
　　
　　例2、已知數列{an }的前n項和Sn=2n+3，求an
　　
　　分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
　　
　　Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
　　
　　上兩式相減得 Sn -Sn——1=an
　　
　　解：當n=1時，a1=S1=5
　　
　　當n≥2時，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
　　
　　∵n=1不適合上式
　　
　　∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
　　
　　三、已知an與Sn關系
　　
　　已知數列的第n項an與前n項和Sn間的關系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關系轉化為an與an——1的關系，再根據與的關系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。
　　
　　（1）an=an——1+k。數列屬等差數列，直接代公式可求通項公式。
　　
　　例3、已知數列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。
　　
　　分析：由已知條件可知數列是以3為首項，8為公差的等差數列，直接代公式可求得an=8n-5。
　　
　　（2）an=kan——1（k為常數）。數列屬等比數列，直接代公式可求通項公式。
　　
　　例4、數列{an}的前n項和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
　　
　　求數列{an}的通項公式。
　　
　　分析：根據an與Sn的關系，將an+1=2Sn+1轉化為an與an+1的關系。
　　
　　解：由an+1=2Sn+1
　　
　　得an=2Sn-1+1（n≥2）
　　
　　兩式相減，得an+1-an=2an
　　
　　∴an+1=3an （n≥2）
　　
　　∵a2=2Sn+1=3
　　
　　∴a2=3a1
　　
　　∴{an}是以1為首項，3為公比的等比數列
　　
　　∴an=3n-1
　　
　　（3）an+1=an+f（n），用疊加法
　　
　　思路：令n=1，2，3，……，n-1
　　
　　得a2=a1+f（1）
　　
　　a3=a2+f（2）
　　
　　a4=a3+f（3）
　　
　　……
　　
　　+）an=an——1+f（n-1）
　　
　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
　　
　　例5、若數列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n
　　
　　則{an}的通項公式=（ ）
　　
　　解：∵an+1=an+2n
　　
　　∴a2 =a1+2×1
　　
　　a3=a2+2×2
　　
　　a4=a3+2×3
　　
　　……
　　
　　+）an=an——1+2（n-1）
　　
　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
　　
　　=2+2×（1+n-1）（n-1）
　　
　　=n2-n+2
　　
　　（4）an+1=f（n）an，用累積法
　　
　　思路：令n=1，2，3，……，n-1
　　
　　得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
　　
　　……
　　
　　×）an=f（n-1）an-1
　　
　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
　　
　　例6、若數列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）
　　
　　解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
　　
　　a3=22a2 a4=23a3
　　
　　……
　　
　　×） an=2n——1·an——1
　　
　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
　　
　　（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
　　
　　an+1=an+p·qn（pq≠0），
　　
　　an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
　　
　　（p、q、r為常數）
　　
　　這些類型均可用構造法或迭代法。
　　
　　①an=pan——1+q （p、q為常數）
　　
　　構造法：將原數列的各項均加上一個常數，構成一個等比數列，然后，求出該等比數列的通項公式，再還原為所求數列的通項公式。
　　
　　將關系式兩邊都加上x
　　
　　得an+x=Pan——1+q+x
　　
　　=P（an——1 + q+x/p）
　　
　　令x=q+x/p，得x=q/p-1
　　
　　∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
　　
　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項，P為公比的等比數列。
　　
　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
　　
　　∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
　　
　　迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
　　
　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……
　　
　　例7、數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
　　
　　解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
　　
　　兩式相減得an=2an-1+1
　　
　　兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
　　
　　構造成以2為公比的等比數列{an+1}
　　
　　②an=Pan-1+f（n）
　　
　　例8、數列{an}中，a1為常數，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
　　
　　證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
　　
　　分析：這道題是證明題，最簡單的方法當然是數學歸納法，現用構造法和迭代法來證明。
　　
　　方法一：構造公比為-2的等比數列{an+λ·3n}
　　
　　用比較系數法可求得λ=-1/5
　　
　　方法二：構造等差型數列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。
　　
　　方法三：迭代法。
　　
　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
　　
　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
　　
　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
　　
　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
　　
　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
　　
　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
　　
　　③an+1=λan+p·qn（pq≠0）
　　
　　（ⅰ）當λ=qn+1時，等式兩邊同除以，就可構造出一個等差數列{an/qn}。
　　
　　例9、在數列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
　　
　　分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
　　
　　∴{an/2n}是以a1/2=2為首項，1為公差的等差數列。
　　
　　（ⅱ）當λ≠q時，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構造成等比數列求bn，從而求出an。
　　
　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
　　
　　分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，
　　
　　得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
　　
　　令an/2n=bn
　　
　　則bn=3/2bn-1+1/2
　　
　　④an=p（an——1）q（p、q為常數）
　　
　　例11、已知an=1/a an——12，首項a1，求an。
　　
　　方法一：將已知兩邊取對數
　　
　　得lgan=2lgan——1-lga
　　
　　令bn=lgan
　　
　　得bn=2bn-1-lga，再構造成等比數列求bn，從而求出an。
　　
　　方法二：迭代法
　　
　　an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
　　
　　=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
　　
　　=……=a·（a1/a）2n——1
　　
　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數，pr≠0，q≠r）
　　
　　將等式兩邊取倒數，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構造成等比數列求an。
　　
　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
　　
　　解：∵an+1=an/an+2
　　
　　∴1/an+1=2·1/an+1
　　
　　兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
　　
　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項，2為公比的等比數列
　　
　　∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
　　
　　∴an=1/2n-1
　　
　　以上羅列出求數列通項公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對第三項中的5種類型題用構選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉化為第一種類型解決，即從an與Sn的關系式求出數列的前幾項，用觀察法求an。