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數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)
數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)
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九年義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）對初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識作這樣的描述：“初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識包括初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等，以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法�！卑褦�(shù)學(xué)思想和方法作為初中的基礎(chǔ)知識在標(biāo)準(zhǔn)中明確提出，在素質(zhì)教育中的重要性和必要性由此可見一斑。通過多年的教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：
一、把握“層次”，克服盲目性
綜觀“標(biāo)準(zhǔn)”在初中要求學(xué)生“了解”的數(shù)學(xué)思想計(jì)有：轉(zhuǎn)化的思想、分類的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、類比的思想；要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法；要求“理解”或“會(huì)運(yùn)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖像法。這里，“了解”、“理解”、“會(huì)運(yùn)用”是教學(xué)要求的具體尺子，隨便提高或降低都會(huì)給這一基礎(chǔ)知識的教學(xué)帶來困難。特別是若把“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會(huì)運(yùn)用”的層次，則學(xué)生從一開始便會(huì)覺得數(shù)學(xué)思想和方法高深莫測，從而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
二、講“方法”聯(lián)系“思想”，以“思想”指導(dǎo)“方法”，兩者相得益彰
數(shù)學(xué)思想和方法本來是不能截然分開的，中學(xué)數(shù)學(xué)中用到的各種方法都體現(xiàn)著一定的思想，但數(shù)學(xué)思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象，而方法則較為具體，它是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，對于初中學(xué)生來說尤其如此。因此，通過對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用以達(dá)到對數(shù)學(xué)思想的了解，是使思想與方法得到交融的有效方法。例如，初中數(shù)學(xué)中涉及最多的是轉(zhuǎn)化的思想，大致有從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、由此及彼的轉(zhuǎn)化等等。為了實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如消元降次法、換元法、圖像法、待定系數(shù)法、配方法等。通過以上重要方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生充分領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想的風(fēng)采，同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，更促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的使用和鞏固。
例１、解方程
解：移項(xiàng)，把原方程變形為
即
設(shè) 則有
即 得
由此 或 (舍去)
求得 ( 驗(yàn)根略 )
解無理方程的實(shí)質(zhì)是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，轉(zhuǎn)化的方法就是把方程的兩邊同時(shí)乘方或換元，此方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜，兩邊平方不會(huì)輕易達(dá)到目的，因此，只有通過換元，而本題換元必須要有一個(gè)巧妙的構(gòu)思，這個(gè)構(gòu)思過程使學(xué)生對換元法理解的更加深刻了。
三、既要重點(diǎn)講解，又要逐步滲透
教材中的許多公式、概念、定理等本身就隱含著豐富的數(shù)學(xué)方法的內(nèi)容。如分類的思想方法，“標(biāo)準(zhǔn)”雖在“三角形”和“四邊形”這兩部分內(nèi)容才提出來，但分類的思想和方法在教材的許多內(nèi)容中都已經(jīng)涉及到。
例如，有理數(shù)概念的教學(xué)：有理數(shù)是一個(gè)以外延定義的概念，課本中這樣敘述：“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”。它揭示了有理數(shù)的所有外延，即不擴(kuò)充也不遺漏，這本身就體現(xiàn)了分類的思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可依據(jù)具體情況對有理數(shù)作出不同的分類。
幾何中有更多的分類內(nèi)容，如：角的分類、三角形的分類、四邊形的分類、圓周角的定理的證明、弦切角定理的證明、正弦定理的證明等等，不一而足，這些教材都為學(xué)習(xí)分類的思想方法提供了極好的素材，教學(xué)中應(yīng)重視使用。
四、寓數(shù)學(xué)思想方法于教材教法之中，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)
數(shù)學(xué)思想方法不同于其它基礎(chǔ)知識，不能用符號、圖形、式子等表示，不可能在一節(jié)或幾節(jié)課內(nèi)完成。為了使學(xué)生在初中得到一些數(shù)學(xué)思想方法方面的陶冶，只有教師在平時(shí)的課堂教學(xué)活動(dòng)中結(jié)合教材、教法有意識地有目的地進(jìn)行傳授，使學(xué)生慢慢地消化、吸收，天長日久才能達(dá)到潛移默化。
1、經(jīng)常歸納，訓(xùn)練思維的深刻性
歸納的思想就是由個(gè)性到共性，由特殊現(xiàn)象歸納出一般的規(guī)律，從而從本質(zhì)上把握事物。
例如，一元一次方程應(yīng)用題中關(guān)于濃度問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生做如下的練習(xí)：現(xiàn)有含鹽10%的鹽水300千克，
要配成含鹽8%的鹽水，需要加水多少？
要配成含鹽15%的鹽水，需要加鹽多少？
要配成含鹽18%的鹽水，需要加入含鹽25%的鹽水多少千克？
做完以上練習(xí)之后，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：如果把水的濃度看作0%，鹽的濃度看作100%，三種類型的列式可否歸納為一種？
2、類比聯(lián)想，訓(xùn)練相似思維
相似思維就是從一個(gè)事物的性質(zhì)變化規(guī)律，去研究和發(fā)現(xiàn)另一有相似性事物的性質(zhì)和變化規(guī)律，從而尋找解決問題的方法，相似思維需要聯(lián)想，而類比的方法是聯(lián)想的一種重要有效的途徑。
如列一元一次方程解應(yīng)用題，在講完了行程問題之后，再講工作量問題，可以引導(dǎo)學(xué)生這樣思考：比較時(shí)間與工作日、速度與工作效率、距離與工作總量的意義，寫出各自三個(gè)量之間的關(guān)系，分析在列方程中，等量關(guān)系是否有類似之處？
經(jīng)分析得出：可以把工作量問題按照行程問題一樣處理，另有工程問題、水流問題都與行程問題基本一致。
3、尋求轉(zhuǎn)化，訓(xùn)練創(chuàng)造思維
前面提到，轉(zhuǎn)化的思想是初中教材中涉及最多的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化思維是創(chuàng)造思維的核心。
例2、證明方程 ( x - m )( x + n ) = 1有二個(gè)實(shí)根，且一根大于m ，一根小于m 。
此題若用常規(guī)方法是十分困難的，但若能聯(lián)系二次函數(shù)的圖像，應(yīng)用數(shù)形的轉(zhuǎn)化，會(huì)使問題很快地得到解決。
證：設(shè) y = ( x - m )( x + n ) - 1 ，則其圖像為開口向上的拋物線，取其上一點(diǎn)（ m , -1 ），此點(diǎn)在x軸下方，根據(jù)拋物線向上無限伸展的特性，必然與x軸交于兩點(diǎn)，則交點(diǎn) A(x1 , 0)，B(x2 , 0) 必在 (m , 0) 點(diǎn)的兩旁，原題得證。（圖略）
總之，教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)——備課、講課、輔導(dǎo)、作業(yè)布置等教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)努力挖掘適合初中學(xué)生的有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的知識，有意識地、長期地堅(jiān)持進(jìn)行，提高學(xué)生的素質(zhì)，使教學(xué)水平更上一層樓。
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