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“創造”的教與學——《能被9整除數的特征》教學案例
義務教育階段的數學課程，不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解，增進學好數學的信心。 學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。 一、“創造”的教 數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。 教材中對于“能被3整除數的特征”的歸納是通過找余數與這個數數位上的數字之間的關系來進行總結的，而任意一個自然數除以3只有余數0、1、2這三種情況。在教學過程中，學生很難通過余數發現與自然數的數位上數字的關系。因此，教師想到了如果先研究“能被9整除數的特征”的特征呢？任意一個自然數除以9有余數0、1、2、……6、7、8九種情況，與所研究的自然數的數位上的數字更容易建立關系，有利于學生的觀察與理解。 雖然“能被9整除的數的特征”是教材中沒有涉及的部分，但是卻能很好的幫助學生通過借助能被9整除數的特征，以及3和9之間的關系，去理解能被3整除數的特征。分散了知識點的難度，同時也滲透了知識間的內在聯系。 二、“創造”的學 《新課程標準》提出：“動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。數學學習活動應是一個活潑的、主動的和富有個性的過程”。這一理念不僅告訴我們創新意識和實踐能力緊密想隨，而且要使學生的探索經歷和獲取新發現的體驗成為數學學習的重要途徑。 1． 設“井”激趣 數學的學習方式不能再是單一的、枯燥的，以被動聽講和練習為主的方式，它應該是一個充滿生命力的過程。 【片斷一】 出示：87602860、51001758、65064345、85992639 師：老師這里有幾位同學家的電話號碼。 問：每個電話號碼都是一個八位數，這四個數中哪些能被2整除？你怎么判斷的？哪些能被5整除？判斷的依據是什么？ 生答：87602860、51001758能被2整除，個位上是0、2、4、6、8的數能被2整除；87602860、65064345這兩個數能被5整除，個位上是0或5的數能被5整除。 問：哪些數能被9整除呢？你有什么辦法嗎？ 生：① 看個位，認為85992639能被9整除。 ② 算，可以口算、筆算，大數目可以用計算器幫助。 ③ 各數位上的數字和能否被9整除 師：同學們說了這么多種發法，那就用你們想到的方法來找找看哪些數能被9整除。 生：對這四個數進行驗證，得出51001758能被9整除。 交流想法：能被9整除的數看個位是不成立的，85992639不能被9整除；如果身邊沒有計算工具，算起來很不方便；如果各數位上的數字和能被9整除，這個數就能被9整除。這個方法比較好，很快捷。 生質疑：看“各數位上的數字和能否被9整除”這個方法對于每個數都成立成立嗎？為什么成立呢？ 在課上，同學們受“能被2或5整除數的特征”經驗的影響，在驗證、討論的過程中，許多不正確的結論被一一否定，而只留下把“各數位上的數字相加求和，看和與9的關系”的方法。這個方法學生們找不到反例，但又迫切的想了解為什么？這樣不僅抑制了前面所學知識的負遷移，同時又激發學生的學習欲望。 當學生意識到了“各數位上的數字相加求和，看和與9的關系”這個方法時，發現、解決問題的過程就有了目標，為最終問題的解決提供一個可能的方向。創設問題情境，把靜態的知識結論轉化為動態的探索對象，使學生在經歷類似于數學家的探索創造過程中，激發探索意識，養成探索習慣，提高再創造的能力。 2． 追根溯源 “學習任何知識的最佳途徑是有學生自己去發現。因為這種發現，理解最深，也最容易掌握其中的內在規律聯系。” 讓學生自己去體驗，用自己的思維方式去探究，這就是一個再創造的過程。如果離開了學生的學習活動，學生的發展就會落空。 判斷一個數能否被9整除，不能只從一個數的某一位上的數來判斷，必須把這個數各個數位上的數相加求和，如果和能被9整除，這個數就能被9整除。這一結論與能被2、5整除的數的特征相比而言不容易被發現，不容易理解。因此，就把重點放在了“說理”上，不僅要使學生知其然，還要使他們知其所以然。 在分析推理能被9整除的數的特征的過程中，充分重視學生的年齡、心理特點，利用他們已有的知識基礎，分層次逐步進行研究。 【片斷二】 ⑴先引領學生集體先對整十數和整百數進行分析，找出整十數與9、整百數與99的關系，作為認識任意自然數能否被9整除數的特征的基礎和突破口； 問：10能被9整除嗎？你怎么知道的？20、30呢？ 答：10÷9＝1…1，所以10不能被9整除，可以把10寫成10=9×1+1。 20÷9＝2…2，所以20不能被9整除，可以把20寫成20=9×2+2。 30÷9＝3…3，所以30不能被9整除，可以把30寫成30=9×3+3。 生發現：①整十數都可以寫成9乘幾加幾的形式。 ②余數正好是整十數十位上的數。 問：那判斷整十數能否被9整除有更簡單的方法嗎？ 答：直接看整十數十位上的數字。 過渡：整十數能否被9整除的我們會了，那整百數呢？ 問：100能被9整除嗎？2000呢? 你又發現了什么？ 答：100不能被9整除，因為100÷9＝11…1，所以100去掉1個99還余1。100可以寫成99×1+1。 200不能被9整除，因為200÷9＝22…2，所以200去掉2個99還余2。200可以寫成99×2+2。 發現：余數與整百數百位上的數字相同。 問：要很快的判斷出整百數能被否被9整除看什么？ 生：看整百數的百位就可以了。 ⑵再小組合作把幾百幾十的數變成幾個百、幾個十的組合形式，與9和99建立聯系，分散難點，初步歸納能被9整除數的特征； 問：100能被9整除嗎？80能被9整除嗎？180呢？你能用前面的知識，小組合作研究為什么嗎？ 小組探究：因為，180 100＝99×1 + 1 80＝ 9×8 + 8 能被9整除 1+8＝9 能被9整除 所以，180能被9整除。 發現：余數和與這個數的數位上的數字和是相同的，所以可以看這個數的數位上的數字和。 ⑶最后當學生發現這種暗含的關系后，他們可以把任意一個自然數變成由幾個百、幾個十、幾個一的組合形式，與9和99建立聯系，重視學生從具體到抽象，從一般中概括推力出結論的能力的培養。 問：這有一個三位數216，你能馬上判斷出它能被9整除嗎？怎么判斷的？ 答：能。2+1+6=9能被9整除，216能被9整除。 通過觀察拆分之后的余數，學生發現余數和與所給數的數位上的數字和相同，所以可以直接看所給數的各個數位上的數字和能否被9整除。在這節課結束的時候，學生根據自己的理解、用自己的語言歸納出了“能被9整除的數的特征”。 課上學生有了充分的從事數學活動的時間和空間，在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚的明確自己的思想，并有機會分享自己和他人的想法，在親身體驗和探索中認識數學，解決問題，理解和掌握基本的數學知識、技能和方法。在合作交流、與人分享和獨立思考的氛圍中，傾聽、質疑、說明、推廣而直至感到豁然開朗。