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推導圓面積計算公式的三種教法評介

時間：2023-02-21 19:39:14 數學論文我要投稿

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推導圓面積計算公式的三種教法評介

    教學圓面積公式的推導，我曾聽過三種不同的教法，現分別簡介過程及稍作評點。
    〔第一種教法〕
    （１）復習長方形面積計算公式。
    （２）讓學生自學課本中推導圓面積計算公式的過程。
    （３）教師邊用教具演示，邊要求學生回答：
    ①拼成的圖形近似于什么圖形？想一想，如果等分的份數越多，拼成的圖形會怎么樣？
    ②拼成的圖形與原來圓的面積相等嗎？
    ③這個近似長方形的長相當于圓的什么？它的寬相當于圓的什么？
    （４）教師要求學生說出由長方形面積計算公式，推導出圓面積計算公式的方法（可按課本說）。
    （５）揭示圓的面積公式。
    〔評：這種教法，看起來是引導學生自學，并結合演示讓學生回答問題，似乎學生學得較主動，實際上學生未有實踐、思考的過程，只是“依樣畫葫蘆”，對其中的道理不能弄懂、弄通，這屬于機械的學習。〕
    〔第二種教法〕
    １、導入新課。
    教師讓學生回憶一下，以前學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算時，是用什么方法推導它們的計算公式的。（用割、拼法拼成長方形或平行四邊形進行計算，教師出示割、拼教具分別作簡單的演示。）接著，出示一張圓形硬紙片，問：“怎樣計算它的面積呢？”（揭示課題）教師指出：我們仍可用以前學過的割、拼法，把圓轉化為已學過的圖形，運用此圖形的面積計算方法，推導出圓面積的計算方法。
    ２、實際操作。
    要求學生拿出圓面積的割拼圖形學具，在教師的指導下，邊操作，邊回答以下問題：
    ①把一個圓平分成兩半，每一個半圓形的哪一部分長度相當于圓周長的１／２？再把每一個半圓形平均分成８等份（如課本的切割圖），那么哪一段的長度相當于圓的半徑？
    ②想一想：能不能把這些等分出的圖形，拼成近似于我們以前學過的圖形？怎樣拼？（要求學生動手實踐，并指名演示拼出的幾種不同的圖形。如：長方形、平行四邊形、梯形等。）
    ③所拼出的圖形面積與原來圓面積相等嗎？
    ３．推導公式。
    先以拼出的近似長方形的圖形為例，教師引導學生弄清，若平分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形。進而，教師要求學生據圖回答：割拼后的長方形的長相當于圓的哪一部分的長度？寬相當于圓的哪一部分的長度？從而
    由長方形的面積＝長×寬
    ↓ ↓
    得圓的面積＝πｒ×ｒ＝πｒ［２］。
    然后，出示拼出的近似的平行四邊形或梯形，再次推導看能否得出上面的圓面積公式（略）。這樣就得到了證實，使學生確信無疑。
    〔評：這種教法比第一種教法有很大的改進，教師首先通過復習舊知，提出解決問題的辦法，把新舊知識有機結合起來，明確了本課中心內容，然后讓學生親手操作割拼成幾種已學過的圖形，引導學生觀察、思考、比較、推導，其間不囿于課本中的推導方法，讓學生思維得以發散，從而強化了轉化思想，多渠道地推得圓面積計算公式。學生在學習過程中，始終處于積極主動的狀態，這種學習是有意義的學習，不僅使他們“學會” ，而且使他們“會學”，且有助于發展學生的智能。〕
    〔第三種教法〕
    １、引入新課。
    教師開導：圓在日常生活、生產實踐及科學實驗中，有著廣泛的應用。上節課我們學習了圓的周長計算，但仍不夠，還要學會計算圓的面積。如計算一個雷達圓形屏幕的面積，一個圓形花圃的面積等。怎樣才能算出它的面積呢？（揭示、板書課題）。
    ２、創設情境。
    教師用幾張相等的圓紙片，運用折紙、剪紙的方法，分別折剪成正四邊形、正八邊形、正十六邊形，然后再分別與原來的圖紙片疊在一起，見下圖：
    （附圖 {圖}）
    折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成
    正四邊形正八邊形正十六邊形
    引導學生觀察、對比三個內接正多邊形與圓的面積差（陰影部分）誰大誰小，并啟發學生歸結出：折成的等份數越多，剪成的正多邊形邊數越多，它就越接近圓。其中正多邊形的每等份（三角形）就越接近圓的每等份。
    ３、推導公式。
    師：同學們現在要計算圓的面積，選用哪種正多邊形為好？為什么？
    生［，１］：選正十六邊形為好，因為它較接近圓。
    生［，２］：選邊數越多的正多邊形更好，因為它更接近圓。
    師：回答得很好，根據現有的右圖，怎樣計算圓的面積呢？請大家思考以下問題：
    （１）圓的面積相當于多少個三角形面積之和？
    （２）這些三角形的底邊之和相當于圓的什么？
    （３）每個三角形的高相當于圓的什么？
    學生邊回答，教師邊板書：
    正十六邊形的面積＝Ｓ［，三角形］×１６
    ↓
    ＝底邊×高÷２×１６
    ＝底邊×１６×高÷２
    ↓ ↓
    圓的面積＝２πｒ× ｒ÷２
    ＝πｒ［２］
    最后讓學生自學課本中的推導方法，質疑解難。進而教師小結：推導圓的面積公式與以前推導有關圖形面積公式一樣，把圓轉化為已學過的圖形進行計算，同學們課后如有興趣，還可將圓割拼為平行四邊形、梯形，看是否仍能推出Ｓ［，圓］＝πｒ［２］。
    〔評：這種教法具有以下幾個特點：
    １、導入新課開門見山，使學生感到學習圓的面積是實際中的需要，從而激發了學生的求知欲望。
    ２、在推導圓面積公式前，教師創設情境，讓學生領悟隱含于直觀演示中的初步“極限”思想，有助于發展學生空間想象力和空間觀念，從而為推導公式作好鋪墊。這是前兩種教法所不及的。
    ３、運用“整體－部分－整體”，分割求和的方法推導圓面積公式，新穎獨特，學生易于接受，又以課本中的方法及其他方法作驗證，使學生加深理解，記憶牢固。
    ４、小結中能促使新知與原有認知結構中有關觀念建立起聯系，學生的學習是“有意義”的學習。
    總評：教學圓面積公式的推導，要充分運用直觀手段，引發學生積極思考，不僅使學生知其然，還要知其所以然，要把教材本身的內在聯系揭示出來，促使學生運用已學知識主動地去獲取新知；既使學生“學會”，又使學生“會學”，讓他們在學習中同時學到科學的方法，提高學習能力，這樣才能取得較好的教學效果。由此可見，后兩種教法是可取的，且教法三更佳。

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