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排列、組合、二項式定理的教案
排列、組合、二項式定理的教案
一．課標要求：
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題；
2．排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題；
3．二項式定理
能用計數(shù)原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。
二．命題走向
本部分內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內(nèi)容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和。
排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，而且在實際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。
考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。
三．要點精講
1．排列、組合、二項式知識相互關(guān)系表
2．兩個基本原理
（1）分類計數(shù)原理中的分類；
（2）分步計數(shù)原理中的分步；
正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。
3．排列
（1）排列定義，排列數(shù)
（2）排列數(shù)公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；
（3）全排列列： =n!；
（4）記住下列幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；
（2）組合數(shù)公式：Cnm= = ；
（3）組合數(shù)的性質(zhì)
①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
5．二項式定理
（1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
（2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
6．二項式的應(yīng)用
（1）求某些多項式系數(shù)的和；
（2）證明一些簡單的組合恒等式；
（3）證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；
（4）近似計算。當(dāng)|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。
四．典例解析
題型1：計數(shù)原理
例1．完成下列選擇題與填空題
（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名學(xué)生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位學(xué)生參加三項不同的競賽，
①每位學(xué)生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有 ；
②每項競賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有 ；
③每位學(xué)生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有 。
例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有 種不同的方法（用數(shù)字作答）。
點評：分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．（1）（2008四川理卷13）
展開式中 的系數(shù)為?______ _________。
【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數(shù)，以及組合思想；
（2）．2008湖南省長沙云帆實驗學(xué)校理科限時訓(xùn)練
若 n展開式中含 項的系數(shù)與含 項的系數(shù)之比為－5，則n 等于 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
點評：合理的應(yīng)用排列的公式處理實際問題，首先應(yīng)該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應(yīng)該如何去做。
例4．（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有 個（用數(shù)字作答）；
（2）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.
點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測（Ⅱ）
（1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數(shù)為（C） A.3 B.6 C.12 D.18
（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．36種 D．52種
點評：計數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計數(shù)原理結(jié)合
例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種；
（2）5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（ ）
（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種
點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數(shù)（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。
點評：用排列、組合解決有關(guān)幾何計算問題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。
點評：本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。
題型5：二項式定理
例9．（1）（2008湖北卷）
在 的展開式中， 的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有
A．3項 B．4項 C．5項 D．6項
（2） 的展開式中含x 的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
點評：多項式乘法的進位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當(dāng)注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令 .在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別。
例10． （2008湖南文13）
記 的展開式中第m項的系數(shù)為 ，若 ，則 =____5______.
題型6：二項式定理的應(yīng)用
例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；
（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？
（3）根據(jù)下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。
點評：（1）用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身椫突蛑钤侔炊検蕉ɡ碚归_推得所求結(jié)論；
（2）用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項。
五．思維總結(jié)
解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律
1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯(lián)合使用。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
（3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。
4．對解組合問題，應(yīng)注意以下三點：
（1）對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑嬎悖墙饨M合題的常用方法；
（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
（3）設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。
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