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函數的應用舉例

時間：2022-08-17 03:37:52 高一數學教案我要投稿

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函數的應用舉例

教學目標

　　1. 能夠運用函數的性質，指數函數，對數函數的性質解決某些簡單的實際問題．
　　(1) 能通過閱讀理解讀懂題目中文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本，弄清題中出現的量及其數學含義．
　　(2) 能根據實際問題的具體背景，進行數學化設計，將實際問題轉化為數學問題，并調動函數的相關性質解決問題．
　　(3) 能處理有關幾何問題，增長率的問題，和物理方面的實際問題．
　　2. 通過聯系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養學生分析問題，解決問題的能力和運用數學的意識，也體現了函數知識的應用價值，也滲透了訓練的價值．
　　3. 通過對實際問題的研究解決，滲透了數學建模的思想．提高了學生學習數學的興趣，使學生對函數思想等有了進一步的了解．

教學建議

教材分析
　　（1）本小節內容是全章知識的綜合應用．這一節的出現體現了強化應用意識的要求，讓學生能把數學知識應用到生產，生活的實際中去，形成應用數學的意識．所以培養學生分析解決問題的能力和運用數學的意識是本小節的重點，根據實際問題建立數學模型是本小節的難點．
　　（2）在解決實際問題過程中常用到函數的知識有：函數的概念，函數解析式的確定，指數函數的概念及其性質，對數概念及其性質，和二次函數的概念和性質．在方法上涉及到換元法，配方法，方程的思想，數形結合等重要的思方法．．事業本節的學習，既是對知識的復習，也是對方法和思想的再認識．

教法建議
　　（1）本節中處理的均為應用問題，在題目的敘述表達上均較長，其中要分析把握的信息量較多．事業處理這種大信息量的閱讀題首先要在閱讀上下功夫，找出關鍵語言，關鍵數據，特別是對實際問題中數學變量的隱含限制條件的提取尤為重要．
　　（2）對于應用問題的處理，第二步應根據各個量的關系，進行數學化設計建立目標函數，將實際問題通過分析概括，抽象為數學問題，最后是用數學方法將其化為常規的函數問題(或其它數學問題)解決．此類題目一般都是分為這樣三步進行．
　　（3）在現階段能處理的應用問題一般多為幾何問題，利潤最大，費用最省問題，增長率的問題及物理方面的問題．在選題時應以以上幾方面問題為主．

教學設計示例

函數初步應用

教學目標

　　1.能夠運用常見函數的性質及平面幾何有關知識解決某些簡單的實際問題．

　　2.通過對實際問題的研究，培養學生分析問題，解決問題的能力

　　3.通過把實際問題向數學問題的轉化，滲透數學建模的思想，提高學生用數學的意識，及學習數學的興趣．

教學重點，難點

　　重點是應用問題的閱讀分析和解決．

　　難點是根據實際問題建立相應的數學模型

教學方法

　　師生互動式

教學用具

　　投影儀

教學過程

一. 提出問題

　　數學來自生活，又應用于生活和生產實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數學知識，數學思想與方法．如剛剛學過的函數內容在實際生活中就有著廣泛的應用．今天我們就一起來探討幾個應用問題．

問題一：如圖，△是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線的左方被截得圖形的面積為，求函數的解析式及定義域． (板書)

　　(作為應用問題由于學生是初次研究，所以可先選擇以數學知識為背景的應用題，讓學生研究)

　　首先由學生自己閱讀題目，教師可利用計算機讓直線運動起來，觀察三角形的變化，由學生提出研究方法．由學生說出由于圖形的不同計算方法也不同，應分類討論．分界點應在，再由另一個學生說出面積的計算方法．

　　當時，，(采用直接計算的方法)

　　當時，

．(板書)

　　(計算第二段時，可以再畫一個相應的圖形，如圖)

　　綜上，有，

　　此時可以問學生這是什么函數?定義域應怎樣計算?讓學生明確是分段函數的前提條件下，求出定義域為．(板書)

　　問題解決后可由教師簡單小結一下研究過程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標函數；(3)按要求解決數學問題．

下面我們一起看第二個問題

問題二：某工廠制定了從1999年底開始到2005年底期間的生產總值持續增長的兩個三年計劃，預計生產總值年平均增長率為，則第二個三年計劃生產總值與第一個三年計劃生產總值相比，增長率為多少?(投影儀打出)

　　首先讓學生搞清增長率的含義是兩個三年總產值之間的關系問題，所以問題轉化為已知年增長率為，分別求兩個三年計劃的總產值．

　　設1999年總產值為，第一步讓學生依次說出2000年到2005年的年總產值，它們分別為：

　　2000年　　2003年

　　2001年　　2004年

　　2002年 2005年 (板書)

　　第二步再讓學生分別算出第一個三年總產值和第二個三年總產值

=++

　　　=．

=++

　　　　=．(板書)

　　第三步計算增長率．

　　．(板書)

　　計算后教師可以讓學生總結一下關于增長率問題的研究應注意的問題．最后教師再指出關于增長率的問題經常構建的數學模型為，其中為基數，為增長率，為時間．所以經常會用到指數函數有關知識加以解決．

　　總結后再提出最后一個問題

問題三：一商場批發某種商品的進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促進銷售，擬采用買一個這種商品贈送一個小禮品的辦法，試驗表明，禮品價格為1元時，銷售量可增加10%，且在一定范圍內禮品價格每增加1元銷售量就可增加10%．設未贈送禮品時的銷售量為件．

　　(1)寫出禮品價值為元時，所獲利潤(元)關于的函數關系式;

　　(2)請你設計禮品價值，以使商場獲得最大利潤． (為節省時間，應用題都可以用投影儀打出)

　　題目出來后要求學生認真讀題，找出關鍵量．再引導學生找出與利潤相關的量．包括銷售量，每件的利潤及禮品價值等．讓學生思考后，列出銷售量的式子．再找學生說出每件商品的利潤的表達式，完成第一問的列式計算．

　　解：．(板書)

　　完成第一問后讓學生觀察解析式的特點，提出如何求這個函數的最大值(此出最值問題是學生比較陌生的，方法也是學生不熟悉的)所以學生遇到思維障礙，教師可適當提示，如可以先具體計算幾個值看一看能否發現規律，若看不出規律，能否把具體計算改進一下，再計算中能體現它是最大?也就是讓學生意識到應用最大值的概念來解決問題．最終將問題概括為兩個不等式的求解即

　　(2)若使利潤最大應滿足

同時成立即解得

當或時，有最大值．

　　由于這是實際應用問題，在答案的選擇上應考慮價值為9元的禮品贈送，可獲的最大利潤．

三．小結

　　通過以上三個應用問題的研究，要學生了解解決應用問題的具體步驟及相應的注意事項．

四．作業略

五．板書設計

2．9 函數初步應用

問題一：

　　解：

問題二