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第一冊(cè)等可能性事件的概率
等可能性事件的概率
【教學(xué)目的】
通過等可能事件概率的講解，使學(xué)生得到一種較簡(jiǎn)單的、較現(xiàn)實(shí)的計(jì)算事件概率的方法。
1.了解基本事件；等可能事件的概念；
2.理解等可能事件的概率的定義，能運(yùn)用此定義計(jì)算等可能事件的概率
【教學(xué)重點(diǎn)】
熟練、準(zhǔn)確地應(yīng)用排列、組合知識(shí)，是順利求出等可能事件概率的重要方法。1.等可能事件的概率的意義：如果在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是 ，如果事件A包含m個(gè)結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= 。2.等可能事件A的概率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
【教學(xué)難點(diǎn)】
等可能事件概率的計(jì)算方法。試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果個(gè)數(shù)n必須是有限的，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性必須是相等的。
【教學(xué)過程】
一、 復(fù)習(xí)提問
1.下面事件：①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到800C時(shí)會(huì)沸騰。②擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面。③實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于零；是不可能事件的有
A. ② B. ① C. ①② D. ③
2.下面事件中：①連續(xù)擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷，相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在10C結(jié)冰。是隨機(jī)事件的有
A. ② B. ③ C. ① D.②③
3.下列命題是否正確，請(qǐng)說明理由
①“當(dāng)ｘ∈R時(shí)，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≤1”是必然事件；
②“當(dāng)ｘ∈R時(shí)，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≤1”是不可能然事件；
③“當(dāng)ｘ∈R時(shí)，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＜2”是隨機(jī)事件；
④“當(dāng)ｘ∈R時(shí)，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＜2”是必然事件；
3.某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次擊中10環(huán)，有3次擊中9環(huán)，有4次擊中8環(huán)，有1次未中靶，試計(jì)算此人中靶的頻率，假設(shè)此人射擊1次，問中靶的概率大約是多少？
4.上拋一個(gè)刻著1、2、3、4、5、6字樣的正六面體方塊出現(xiàn)字樣為“3”的事件的概率是多少？出現(xiàn)字樣為“0”的事件的概率為多少？上拋一個(gè)刻著六個(gè)面都是“P”字樣的正方體方塊出現(xiàn)字樣為“P”的事件的概率為多少？
二、 新課引入
隨機(jī)事件的概率，一般可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)求得其近似值。但對(duì)于某些隨機(jī)事件，也可以不通過重復(fù)試驗(yàn)，而只通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果的分析來計(jì)算其概率。這種計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法，比經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)得出來的概率，有更簡(jiǎn)便的運(yùn)算過程；有更現(xiàn)實(shí)的計(jì)算方法。這一節(jié)課程的學(xué)習(xí)，對(duì)有關(guān)排列、組合的基本知識(shí)和基本思考問題的方法有較高的要求。
三、 進(jìn)行新課
上面我們已經(jīng)說過：隨機(jī)事件的概率，一般可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)求得其近似值。但對(duì)于某些隨機(jī)事件，也可以不通過重復(fù)試驗(yàn)，而只通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果的分析來計(jì)算其概率。
例如，擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有：正面向上，反面向上。由于硬幣是均勻的，可以認(rèn)為出現(xiàn)這兩種結(jié)果的可能發(fā)生是相等的。即可以認(rèn)為出現(xiàn)“正面向上”的概率是1/2，出現(xiàn)“反面向上”的概率也是1/2。這與前面表1中提供的大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果是一致的。
又如拋擲一個(gè)骰子，它落地時(shí)向上的數(shù)的可能是情形1,2，3,4，5,6之一。即可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種。由于骰子是均勻的，可以認(rèn)為這6種結(jié)果出現(xiàn)的可能發(fā)生都相等，即出現(xiàn)每一種結(jié)果的概率都是1/6。這種分析與大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果也是一致的。
現(xiàn)在進(jìn)一步問：骰子落地時(shí)向上的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是多少？
由于向上的數(shù)是3,6這2種情形之一出現(xiàn)時(shí)，“向上的數(shù)是3的倍數(shù)”這一事件（記作事件A）發(fā)生。因此事件A的概率P（A）＝2/6＝1/3
定義1 基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件。
通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個(gè)基本事件組成。如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有ｎ個(gè)，即此試驗(yàn)由ｎ個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。那么每一個(gè)基本的概率都是 。如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有ｍ個(gè)，那么事件A的概率P（A）＝ 。亦可表示為P（A）＝ 。
四、 課堂舉例：
【例題1】有10個(gè)型號(hào)相同的杯子，其中一等品6個(gè)，二等品3個(gè)，三等品1個(gè)．從中任取1個(gè)，取到各個(gè)杯子的可能性是相等的。由于是從10個(gè)杯子中任取1個(gè)，共有10種等可能的結(jié)果。又由于其中有6個(gè)一等品，從這10個(gè)杯子中取到一等品的結(jié)果有6種。因此，可以認(rèn)為取到一等品的概率是 。同理，可以認(rèn)為取到二等品的概率是3/10，取到三等品的概率是 。這和大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果也是一致的。
【例題2】從52張撲克牌中任意抽取一張（記作事件A），那么不論抽到哪一張都是機(jī)會(huì)均等的，也就是等可能性的，不論抽到哪一張花色是紅心的牌（記作事件B）也都是等可能性的；又不論抽到哪一張印有“A”字樣的牌（記作事件C）也都是等可能性的。所以各個(gè)事件發(fā)生的概率分別為P（A）＝ =1，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝
在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的ｎ個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I，這ｎ個(gè)結(jié)果就是集合I的ｎ個(gè)元素。各基本事件均對(duì)應(yīng)于集合I的含有1個(gè)元素的子集，包含ｍ個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于I的含有ｍ個(gè)元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)（記作ｃａｒｄ（A））與集合I的元素個(gè)數(shù)（記作ｃａｒｄ（I））的比值。即P（A）＝ ＝
例如，上面擲骰子落地時(shí)向上的數(shù)是3的倍數(shù)這一事件A的概率P（A）＝ ＝ ＝
【例3】 先后拋擲兩枚均勻的硬幣，計(jì)算：
(1)兩枚都出現(xiàn)正面的概率；
(2)一枚出現(xiàn)正面、一枚出現(xiàn)反面的概率。
分析：拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面這兩種結(jié)果。因而先后拋擲兩枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，可根據(jù)乘法原理得出。由于硬幣是均勻的，所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。又在所有等可能的結(jié)果中，兩枚都出現(xiàn)正面這一事件包含的結(jié)果數(shù)是可以知道的，從而可以求出這個(gè)事件的概率。同樣，一枚出現(xiàn)正面、一枚出現(xiàn)反面這一事件包含的結(jié)果數(shù)是可以知。道的，從而也可求出這個(gè)事件的概率。
解：由乘法原理，先后拋擲兩枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果共有2×2＝4種，且這4種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。
(1)記“拋擲兩枚硬幣，都出現(xiàn)正面”為事件A，那么在上面4種結(jié)果中，事件A包含的結(jié)果有1種，因此事件A的概率
P（A）=1/4
答：兩枚都出現(xiàn)正面的概率是1/4。
(2)記“拋擲兩枚硬幣，一枚出觀正面、一枚出現(xiàn)反面”為事件B。那么事件B包含的結(jié)果有2種，因此事件B的概率
P（B）=2/4=1/2
答：一枚出現(xiàn)正面、一枚出現(xiàn)反面的概率是1/2。
【例4】 在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品。從中任取2件，計(jì)算：
(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品、1件是次品的概率。
分析：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從、100個(gè)元素中任取2個(gè)的組合數(shù)。由于是任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。又由于在所有產(chǎn)品中有95件合格品、5件次品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，就是從95個(gè)元素中任取2個(gè)的組合數(shù)；取到2件次品的結(jié)果數(shù)，就是從5個(gè)元素中任取2個(gè)的組合數(shù)；取到1件合格品、1件次品的結(jié)果數(shù)，就是從95個(gè)元素中任取1個(gè)元素的組合數(shù)與從5個(gè)元素中任取1個(gè)元素的組合數(shù)的積，從而可以分別得到所求各個(gè)事件的概率。
解：(1)從100件產(chǎn)品中任取2件，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 種，且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。又在 種結(jié)果中，取到2件合格品的結(jié)果有 種。記“任取2件，都是’合格品”為事件A，那么事件A的概率
P（A）= / =893/990
答：2件都是合格品的概率為893/990
(2)記“任取2件，都是次品”為事件B。由于在 種結(jié)果中，取到2件次品的結(jié)果有C52種，事件B的概率
P（B）= / =1/495
答：2件都是次品的概率為1/495
(3)記“任取2件，1件是合格品、I件是次品”為C。由于在 種結(jié)果中，取到1件合格品、l件次品的結(jié)果有 種，事件C的概率
P（C）= / =19/198
答：1件是合格品、1件是次品的概率為19/198
【例5】 某號(hào)碼鎖有6個(gè)撥盤，每個(gè)撥盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，當(dāng)6個(gè)撥盤上的數(shù)字組成某一個(gè)六位數(shù)字號(hào)碼(開鎖號(hào)碼)時(shí)，鎖才能打開。如果不知道開鎖號(hào)碼，試開一次就把鎖打開的概率是多少?
分析：號(hào)碼鎖每個(gè)撥盤上的數(shù)字，從0到9共有十個(gè)。6個(gè)撥盤上的各一個(gè)數(shù)字排在—起，就是一個(gè)六位數(shù)字號(hào)碼。根據(jù)乘法原理，這種號(hào)碼共有10的6次方個(gè)。由于不知道開鎖號(hào)碼，試開時(shí)采用每一個(gè)號(hào)碼的可能性都相等。又開鎖號(hào)碼只有一個(gè)，從而可以求出試開一次就把鎖打開的概率。
解：號(hào)碼鎖每個(gè)撥盤上的數(shù)字有10種可能的取法。根據(jù)乘法原理，6個(gè)撥盤上的數(shù)字組成的六位數(shù)字號(hào)碼共有10的6次方個(gè)。又試開時(shí)采用每一個(gè)號(hào)碼的可能性都相等，且開鎖號(hào)碼只有一個(gè)，所以試開一次就把鎖打開的概率
P=1/1000000
答：試開一次就把鎖打開的概率是1/1000000
五、課堂小結(jié)：用本節(jié)課的觀點(diǎn)求隨機(jī)事件的概率時(shí)，首先對(duì)于在試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果的可能性認(rèn)為是相等的；其次是對(duì)于通過一個(gè)比值的計(jì)算來確定隨機(jī)事件的概率，并不需要通過大量重復(fù)的試驗(yàn)。因此，從方法上來說這一節(jié)課所提到的方法，要比上一節(jié)所提到的方法簡(jiǎn)便得多，并且更具有實(shí)用價(jià)值。
六、課堂練習(xí)
1.(口答)在40根纖維中，有12根的長度超過30毫米。從中任取1根，取到長度超過30毫米的纖維的概率是多少?
2．在10支鉛筆中，有8支正品和2支副品。從中任取2支，恰好都取到正品的概率是多少?
七、布置作業(yè)：課本第120頁習(xí)題10.5第2――－6題
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