第二冊不等式證明

第二冊不等式證明

目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

過程：

一、復習：

1．不等式的一個等價命題

2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

二、作差法：（P13—14）

1． 求證：x² + 3 > 3x

    證：∵(x² + 3) - 3x =

        ∴x² + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正數，并且a < b，求證：

   證：

∵a,b,m都是正數，并且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0

∴     即：

         變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？

3． 已知a, b都是正數，并且a ¹ b，求證：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

   證：(a⁵ + b⁵ ) - (a²b³ + a³b²) = ( a⁵ - a³b²) + (b⁵ - a²b³ )

= a³ (a² - b² ) - b³ (a² - b²) = (a² - b² ) (a³ - b³)

= (a + b)(a - b)²(a² + ab + b²)

∵a, b都是正數，∴a + b, a² + ab + b² > 0

又∵a ¹ b，∴(a - b)² > 0   ∴(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²) > 0

即：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

4． 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？

解：設從出發地到指定地點的路程為S，

甲乙兩人走完全程所需時間分別是t₁, t₂，

則：   可得：

∴

∵S, m, n都是正數，且m ¹ n，∴t₁ - t₂ < 0   即：t₁ < t₂

從而：甲先到到達指定地點。

變式：若m = n，結果會怎樣？

  三、作商法

5． 設a, b Î R⁺，求證：

   證：作商：

當a = b時，

       當a > b > 0時，

       當b > a > 0時，

∴ （其余部分布置作業）

作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。

四、小結：作差、作商

五、作業： P15   練習

           P18   習題6.3  1—4

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