指數函數與對數函數的性質及其應用 —— 初中數學第五冊教案

指數函數與對數函數的性質及其應用 —— 初中數學第五冊教案

教       案

 

課題：指數函數與對數函數的性質及其應用

課型：綜合課

教學目標：在復習指數函數與對數函數的特性之后，通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數函數與對數函數值的大小及提高對復合型函數的定義域與值域的解題技巧。

重點：指數函數與對數函數的特性。

難點：指導學生如何根據上述特性解決復合型函數的定義域與值域的問題。

教學方法：多媒體授課。

學法指導：借助列表與圖像法。

教具：多媒體教學設備。

教學過程：

一、   復習提問。通過找學生分別敘述指數函數與對數函數的公式及特性，加深學生的記憶。

二、   展示指數函數與對數函數的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

 

 

 

 

指數函數與對數函數關系一覽表

函數

性質

指數函數

y=a^x （a＞0且a≠1）

對數函數

y=log_ax（a＞0且a≠1）

定義域

實數集R

正實數集（0，﹢∞）

值域

正實數集（0，﹢∞）

實數集R

共同的點

（0，1）

（1，0）

單調性

a＞1 增函數

a＞1 增函數

0＜a＜1 減函數

0＜a＜1 減函數

 

函數特性

 

a＞1

當x＞0,y＞1

當x＞1,y＞0

當x＜0,0＜y＜1

當0＜x＜1, y＜0

0＜a＜1

當x＞0, 0＜y＜1

當x＞1, y＜0

當x＜0,y＞1

當0＜x＜1, y＞0

反函數

y=log_ax（a＞0且a≠1）

y=a^x （a＞0且a≠1）

 

 

圖像

          Y

    y=(1/2)^x      y=2^x

 

              (0,1)

                      X

   Y

 

               y=log₂x

       (1,0)

                      X

               y=log_1/2x

 

三、   同一坐標系中將指數函數與對數函數進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log₂x與y＝2^x、 y＝log_1/2x與y＝（1/2）^x 的圖像關于直線y＝x對稱，互為反函數關系。所以y＝log_ax與y＝a^x互為反函數關系，且y＝log_ax的定義域與y＝a^x的值域相同，y＝log_ax的值域與y＝a^x的定義域相同。

 

Y

          y＝(1/2)^x                           y＝2^x           y＝x

 

（0，1）              y＝log₂x

 

 

（1，0）            X

                   y＝log_1/2x

                 

                       

 

注意：不能由圖像得到y＝2^x與y＝（1/2）^x為偶函數關系。因為偶函數是指同一個函數的圖像關于Y軸對稱。此圖雖有y＝2^x與y＝（1/2）^x圖像對稱，但它們是2個不同的函數。

四、   利用指數函數與對數函數性質去解決含有指數與對數的復合型函數的定義域、值域問題及比較函數的大小值。

五、   例題

例⒈比較（Л）^（－0.1）與（Л）^（－0.5）的大小。

解：∵ y＝a^x中， a＝Л＞1

∴ 此函數為增函數

又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

∴ （Л）^（－0.1）＞（Л）^（－0.5）

例⒉比較log₆7與log₇6的大小。

解： ∵ log₆7＞log₆6＝1

          log₇6＜log₇7＝1

         ∴  log₆7＞log₇6

注意：當2個對數值不能直接進行比較時，可在這2個對數中間插入一個已知數，間接比較這2個數的大小。

例⒊ 求y＝₃√4-x²的定義域和值域。

解：∵√4-x²  有意義，須使4-x²≥0

即x²≤4，      |x|≤2

∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

又∵0≤x²≤4，   ∴0≤4-x²≤4

∴0≤√4-x²  ≤2，且y＝3^x是增函數

          ∴3⁰≤y≤3²，即值域為[1，9]

例⒋ 求函數y＝√log_0.25（log_0.25x）的定義域。

解：要函數有意義，須使log_0.25（log_0.25x）≥0

      又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log_0.25x是減函數

        ∴ 0＜log_0.25x≤1

        ∴ log_0.251＜log_0.25x≤log_0.250.25

        ∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

六、   課堂練習

求下列函數的定義域

1.      y＝8^{[1/（2x-1）]}

2.      y＝log_a（1-x）² （a＞0，且a≠1）

七、   評講練習

八、   布置作業

第113頁，第10、11題。并預習指數函數與對數函數

在物理、社會科學中的實際應用。

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