方差
教學(xué)設(shè)計示例1
第一課時
素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點
使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.
（二）能力訓(xùn)練點
1．培養(yǎng)學(xué)生的計算能力.
2．培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.
（三）德育滲透點
1．培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.
2．滲透數(shù)學(xué)來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.
（四）美育滲透點
通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透了數(shù)學(xué)知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)美的鑒賞力.
重點·難點·疑點及解決辦法
1．教學(xué)重點：方差概念.
2．教學(xué)難點：方差概念.
3．教學(xué)疑點：學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢？為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.
4．解決辦法：教師要講清方差，標(biāo)準(zhǔn)差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時的情況.
教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進一步學(xué)習(xí)衡量樣本（或一組數(shù)據(jù)）和總體的另一類特征數(shù)——方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其計算.
這種開門見山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來，進入新課講解.
（二）整體感知
對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
（三）教學(xué)過程
1．請同學(xué)們看下面的問題：（用幻燈出示）
兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量，結(jié)果如下（單位：毫米）
機床甲
40
39．8
40．1
40．2
39．9
40
40．2
39．8
40．2
39．8
機床乙
40
40
39．9
40
39．9
40．2
40
40．1
40
39．9
上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個機床做得好呢？
對于這個問題，學(xué)生會馬上想到計算它們的平均數(shù)．教師可把學(xué)生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（請兩名同學(xué)到黑板計算）
計算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米．這時教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀察上圖（給學(xué)生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別）從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近．這
說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好．
教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小（即偏離平均數(shù)的大小）．
通過引例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準(zhǔn)
備．
2．方差概念
教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：
設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 ，那么我們用它們的平均數(shù)，即用
③
來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差．一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大．教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握．
在學(xué)生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差？（教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時，為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消）為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方？（教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“功能”上，方差更強些）為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n？（是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響）．
在學(xué)生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好．
教師范解
從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.
這樣做使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.
3．例1 （用幻燈出示）已知兩組數(shù)據(jù)：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.
讓學(xué)生自己動手計算，求平均數(shù)時激發(fā)學(xué)生用簡化公式計算，找一名好學(xué)生到黑板計算.
解：根據(jù)公式②（取 ），有
從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.
4．標(biāo)準(zhǔn)差概念
在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根
④
并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：
計算標(biāo)準(zhǔn)差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.
課堂練習(xí) 教材P165中（1）、（2）
（四）總結(jié)、擴展
知識小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使我們知道了對于一組數(shù)據(jù)，有時只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動大小；而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.
方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)方差的方法；先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.
布置作業(yè)
教材P173中1，2（1）（2）
板書設(shè)計
14．3 方差（一）
方差公式③ 引例 例1
標(biāo)準(zhǔn)差公式④
教學(xué)設(shè)計示例2
一、教學(xué)目的
1．使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差．
2．使學(xué)生了解樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義．
二、教學(xué)重點、難點
重點：方差、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義．
難點：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計算．
三、教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法？
引入新課
在很多實際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小．如何了解數(shù)據(jù)的波動大小？這正是我們要解決的問題．
新課
引例 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件．為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進行測量，結(jié)果如下(單位：毫米)：
表中數(shù)據(jù)表成如下形式：
可在此處讓學(xué)生用公式②分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適)．當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù)：
讓學(xué)生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好？提出問題讓學(xué)生議議后，再引導(dǎo)學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認(rèn)識到“機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近．”這說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好．
這反映出，對一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小)．
在此處要告訴學(xué)生：描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法．本課介紹“方差”即是一種方法．即：
來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差．
要強調(diào)“一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大”．條件許可時，還可介紹③式可表示為：
接下來可以請兩個學(xué)生計算引例中機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差．
從0.026＞0.008可以比較出，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大．(接下來教師再給出如下例題．)
例1 已知兩組數(shù)據(jù)：
分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差．
講此例后，要強調(diào)求解步驟為：
(1)求平均數(shù)；(2)求方差；(3)比較方差得出結(jié)論．
此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即
公式④(即標(biāo)準(zhǔn)差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量．
在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可讓學(xué)生算一下，得出：
說明：計算標(biāo)準(zhǔn)差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便．
小結(jié)
1．本課學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③．
2．本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的公式④．
練習(xí)：選用課本練習(xí)題．
作業(yè)：選用課本習(xí)題．
四、教學(xué)注意問題
要注意通過例題講好求方差題目的解題格式．
教學(xué)設(shè)計示例3
一、教學(xué)目的
1．使學(xué)生進一步理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義．
2．使學(xué)生掌握利用簡化公式計算一組數(shù)據(jù)的方差的方法．
3．使學(xué)生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況．
二、教學(xué)重點、難點
重點：簡化計算一組數(shù)據(jù)的方差公式．
難點：利用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況．
三、教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差？
2．一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)如何計算？
引入新課
我們看到，用公式③計算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩．那么，有否較簡便的計算方法呢？
新課
教師應(yīng)在黑板上進行如下推導(dǎo)：
推導(dǎo)上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：
一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：
在這時，教師要強調(diào)：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便．
例2 計算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點后第1位)：
3 -1 2 1 -3 3
教師可讓學(xué)生共同來完成此例．
接下來教師按教材指出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時，可按下述公式計算方差：
其中x'1=x1-a，x'2=x2-a，…，x'n=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n個數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù)．
為使學(xué)生對公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例．
例3 甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測驗成績?nèi)缦?單位：分)：
哪個小組學(xué)生的成績比較整齊？
解后，指出解題步驟有如下三步：
(3)代入公式⑥計算方差并比較得解．
小結(jié)
1．本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤．
2．本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥．
練習(xí)：選用課本練習(xí)題．
作業(yè)：選用課本習(xí)題．
補充作業(yè)
2．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標(biāo)準(zhǔn)差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差．(答案：S甲=3，S乙=2．)
3．在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數(shù)分別如下：
分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差．
四、教學(xué)注意問題
要注意給學(xué)生講如下三點：
1．方差與標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù)．
2．用簡化計算公式求方差較為方便．
3．對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小、方差大的波動大．
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