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個人賬戶中養老金給付精算模型及其應用
一、引言1997年，《國務院關于建立統一的企業職工基本養老保險制度的決定》（以下簡稱《決定》）規定，中國現行基本養老保險制度選擇社會統籌與個人賬戶相結合的部分積累制，主要目的是預籌資金積累，防范人口老齡化高峰到來之際養老金支付危機。社會統籌采用現收現付模式發放基礎養老金，個人賬戶采用完全積累模式發放個人賬戶養老金。個人賬戶繳費的累積額用于退休后平均余壽期間的養老金支付，超過平均余壽期間的養老金由社會統籌基金支付。個人賬戶使得個人繳費和享受之間建立起直接的聯系，增加了繳費的靈活性。在職工調動工作時，由于個人賬戶的歸屬權明確，個人賬戶的累積額可以隨同職工轉移，有利于職工的流動。
《決定》規定對《決定》實施前已經退休的職工，仍按照國家原來標準發給基礎養老金，不發放個人賬戶養老金。對《決定》實施前參加工作、實施后退休的職工（簡稱為“中人”）按照新制度規定辦法發放基礎養老金和個人賬戶養老金，并在基礎養老金和個人賬戶養老金基礎上再確定過渡性養老金。過渡性養老金從養老保險基金中解決，具體辦法，同勞動部會同有關部門制定并指導實施。但中國至今關于“中人”的過渡性養老金的發放問題尚未解決。對《決定》實施后參加工作的職工（簡稱“新人”和“中人”個人賬戶養老金月標準為本人儲存額除以120。但這一標準忽略了預期利率的變化。
針對本世紀人口老齡化的到來，退休人員的養老金的發放標準顯得日益重要的事實，筆者利用保險精算學中生存年金理論分別給出“新人”和“中人”的個人賬戶下養老金給付模型，并結合社會養老保險中公平、效率原則給出“中人”過渡性養老金給付模型，由此得到的個人賬戶下養老金給付模型具有重要的理論和參考價值。根據個人賬戶給付模型和1990年全國市鎮職工從業人口生命表的數據，得出個人賬戶下養老金發放標準偏高的結論。這一結論對制定個人賬戶下養老金發放標準具有重要的實際應用價值。
二、個人賬戶中養老金給付精算模型
個人賬戶平衡的精算模型是根據未來給付精算現值等于未來繳費精算現值的基礎進行精算估計。未來給付精算現值是個人賬戶承諾的所有未來給付在計算時點的現值，未來繳費精算現值是職工在職期間個人賬戶中繳費累積額在計算時點的現值。
（一）“新人”個人賬戶中養老金給付精算模型
《決定》規定，對“新人”繳費按工資的某一固定比例繳費，個人賬戶養老金給付額在其退休后按個人賬戶的累積額發放養老金。
不妨設“新人”在個人賬戶下開始繳費的年齡為α歲，退休年齡為r歲，ω為職工生存的極限年齡。每年養老金發放額為b[,r]，以(PVFB)[,a]。表示a歲職工的未來給付精算現值，則
附圖
上式為中國個人賬戶中“新人”養老金給付精算模型，其年給付額與個人賬戶的繳費率、初始繳費工資、利率、職工的生存概率（注：職工的各年生存概率參考1990年全國市鎮職工從業生命表中數據。）有關。
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《決定》規定，制度轉軌后，“中人”的繳費率與“新人”相同，個人賬戶養老金給付額在其退休后以個人賬戶累積額為基礎發放養老金。但“中人”在現收現付制下由于繳費而積累了獲得養老金的權利，根據社會養老保險的公平、效率原則，在計算“中人”個人賬戶養老金發放時，需加上“中人”的這部分養老金權利，“中人”的這部分養老金稱為過渡性養老金[2]。過渡性養老金從社會養老保險基金中籌取，過渡性養老金的發放額可根據“中人”在現收現付制下的工作年限、繳費額等條件利用精算學中生存年金理論確定。
設a歲參加工作，現年y歲“中人”在《決定》實施前具有y-a年（即繳費和視同繳費的年數）繳費年數，
當k=0時，表示退休給付不作調整，職工退休后每年得到的養老金數額相等。
“中人”退休后，由過渡性養老金總權利在y歲時的精算現值：
附圖
由此可得，“中人”在退休后由個人賬戶累積額領取的每年養老金為：b[,r]+b[,ro]。（現收現付制下退休職工的養老金規定為替代率乘以職工退休前一年職工平均工資。）
三、個人賬戶下養老金發放標準問題
中國城鎮職工基本養老保險個人賬戶部分，采取以平均余命確定養老金的方法。個人賬戶中繳費一般按工資的一定比例繳納，個人賬戶中養老金發放標準按退休職工的平均余命和預定利率來確定。職工退休后，個人賬戶養老金的給付額大小由繳費和利息的累積額確定，并且養老金的給付額一般不作指數化調整�！稕Q定》規定，個人繳費年限累計滿15年的，退休后按月發給個人賬戶養老金，個人賬戶養老金發放標準為本人賬戶儲存額除以120。如按年折算，也就是個人賬戶年養老金發放標準為本人賬戶儲存額除以10，本節根據保險精算學中確定年金理論，指出中國養老金發放標準中存在偏高的問題。
設職工參加養老保險第一年的工資收入為w，職工工齡工資增長率為n[,1]，職工年度工資增長率為n[,2]，職工個人賬戶繳費率為C[,1]，繳費年限為n，預定利率為i，假定繳費時間在每年年初，根據保險精算學中確定年金理論[3][4]，可得：
第一年初繳費到n年末的累積額：
C[,1]W(1+i)[n]
第二年初繳費到n年末的累積額：
C[,1]W(1+n[,1])(1+n[,2])(1+i)[n-1]
第n年初繳費到n年末的累積額：
C[,1]W〔(1+n[,1](1+n[,2])〕[n-1](1+i)
令m=(1+n[,1])(1+n[,2])，則該職工到第n年末退休時的個人賬戶養老金總累積額為：
附圖
按年養老金發放標準發放時，個人賬戶養老金支出的計算。設養老金年給付額為b，平均余命為e年，預定利率為i，養老金發放在年初進行，則各年的養老金在平均余命期限e年初（退休當年）的現值為：
第一年養老金在e年初的現值：b
附圖
該職工在e年期初（即退休當年）各年養老金現值總和：
附圖
定理1：個人賬戶發放養老金標準在退休職工的平均余命一定時隨利率的增大而增大而增大，在利率一定時隨退休工平均余命的延長而減小。
證明：當i=0時，由式(6)得k(i,e)=e
附圖
表1 55～60歲全國市鎮從業人口生命表（注：55-60歲全國市鎮從業人口數據來自1990年全國市鎮職工從業生命表）
年齡／歲 55 56 57 58 59 60
死亡概率 0.00730 0.00826 0.00896 0.01039 0.01302 0.01417
平均預期余命／年 19.01 18.25 17.41 16.58 &nb
sp; 15.76 14.97
表2 不同預期利率水平下養老金發放標準
附圖
即：個人賬戶養老金除數因子隨利率的增大而減小，隨退休職工平均余命的延長而增大。從而，個人賬戶養老金發放標準隨利率的增大而增大，隨退休職工平均余命的延長而減小。證畢。
職工退休后的平均余命參照全國市鎮職工從業人口生命表進行測算。由于職工退休時未來平均余命內預定利率是個不確定的值，因而養老金發放標準與預定利率的高低有很大關系。如果預定利率比較高，則養老金發放標準也比較高，預定利率較低，養老金發放標準也比較低。
中國男女平均退休年齡58歲，根據1989～1990年全國市鎮職工從業生命表的數據，58歲職工的平均余命為16.58年，如表1所示。
根據1989～1990年全國市鎮從業生命表中58歲職工的平均余命為16.58年，得到不同預期利率水平下的除數因子，并分別計算了平均余命增加一個月、一年時，除數因子在不同利率下變化情況。由中國人口信息研究中心估計未來50年（2000～2050年）中國未來退休人口平均余命為18年，得到在不同預期利率下除數因子，如表2所示。
由表2可以看出，在相同預定利率下，個人賬戶養老金的除數因子隨退休職工的平均余命的增加而增大；在退休職工平均余命一定時，個人賬戶養老金的除數因子隨預定利率的增大而減小。平均余命增加一個月時，除數因子在不同預定利率下(1%～10%)，分別增加0.07,0.061,0.052,0.043,0.035,0.033,0.025,0.021,0.02；平均余命增加一年時，除數因子在不同預定利率下(1%～10%)分別增加0.91,0.724,0.61,0.52,0.45,0.38,0.33,0.28,0.25,0.21。根據表2，得出不同預定利率和退休職工不同平均余命下除數因子大小不同，由于養老金發放標準必須在職工剛退休時根據預期利率水平、預期平均余命預先確定下來，而且一般確定下來后不宜再作變動，特別是向下變動更難。因此，個人賬戶養老金發放時必須根據未來至少10年的平均余命和預期利率預測進行制定標準。
筆者采用1997年退休職工平均余命為16.58進行分析：當預期利率為0時，全部養老金儲存額按照平均余命16.58年發放；當預期利率為1%時，由于各年養老金領取后的剩余部分能夠繼續產生增值，全部養老金儲存按15.36份發放，同樣可以發放16.58年，年養老金發放標準比利率為0時增大。個人賬戶養老金平衡的關鍵是根據退休后預期利率的高低確定合適的除數因子。如果除數因子規定太小，則個人賬戶養老金儲存額在平均余命到達之前就已經領完。例如：當除數因子按10.3計算時，預期利率必須是7%時才能保證16.58年內養老金的發放。如果實際利率是3%，除數因子按10.3計算，養老金儲存額只能夠發放12.8年，平均余命期限內還有3.78年時間內個人賬戶已沒有養老金可領取，必須從社會保險基金中領取，由此造成社會養老保險基金的收支失衡。如果除數因子規定太大，則個人賬戶儲存額在平均余命到達之后還有剩余。例如：實際利率是3%，除數因子按15.36計算時，養老金可以發放約19年。由此造成個人賬戶儲存額在平均余命到達之后仍有剩余，起不到社會保障中公平、效率的原則。由此可見，在退休職工平均余命一定時，個人賬戶養老金平衡的實現則取決于職工退休后的實際利率水平是否與預期利率水平相同。
中國城市企業職工實行的是社會統籌和個人賬戶相結合的養老保險制度。國務院1997年發布的《關于建立統一的企業職工基本養老保險制度的決定》（國發[1997]26號文件）中規定“個人賬戶養老金月標準為本人賬戶儲存額除以120”，即除數因子是120。120的除數因子折算成個人賬戶養老金的年除數因子是10。參照表2查得在平均余命分別為16.58,16.66,17.58,18時，除數因子為10的預定利率約為7.5%,7.5%,8%,8%；但根據勞動社會保障部博時養老基金投資公司預測的長期利率為約5%[5]，表明養老金中預期利率按照8%的水平有些偏高。因為如果實際年利率達不到8%，就會出現平均余命到達之前個人賬戶養老金儲存額出現虧空的危險。
根據中國人口信息研究中心估計，未來50年（2000～2050年）中國退休人口平均余命為18年，個人賬戶預定年利率為5%，則除數因子約為12，即月養老金領取標準為144。
四、結束語
根據中國個人賬戶養老金發放不規范的實際情況，結合勞動和社會保障部測算養老金發放標準比較粗糙的事實，利用保險精算學中生存年金理論分別精確給出“新人”和“中人”的個人賬戶下養老金給付精算模型，并結合社會養老保險中公平、效率原則給出“中人”過渡性養老金給付模型，由此得到的個人賬戶下養老金給付模型，具有重要的理論和參考價值。根據個人賬戶給付模型和1990年全國人口生命表的數據，得出個人賬戶下養老金發放標準偏高的結論，無疑，這一結論對制定個人賬戶下養老金發放標準具有重要的實際應用價值。
【參考文獻】
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