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《分解因式》中考熱點透視
《分解因式》中考熱點透視
《分解因式》一章中，我們主要學習了分解因式的概念、會用兩種方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）. 具體要求有：
1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會數(shù)學知識之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系.
2、了解因式分解的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.
3、通過乘法公式：（a + b）（a - b）=a2 - b2，（a±b）2= a2±2ab + b2的逆向變形，進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達能力.
在中考中，除了考查對一個整式進行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意.
一、構(gòu)造求值型
例1（2004山西）已知x+y=1，那么
分析：通過已知條件，不能分別求出x、y的值，所以要考慮把所求式進行變形，構(gòu)造出x+y的整體形式. 在此過程中我們要用完全平方公式對因式分解中的.
在此過程中，我們先提取公因式
例2（2004廣西桂林）計算：
分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來”，即
原式 =
=
=
=
=
= ……
= 22 + 2 = 4+2 = 6.
此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來. 此題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個整體，利用方程與提公因式法分解因式相結(jié)合的方法解答此題.
設(shè)M =
即
解得
M = 6.
二、探索規(guī)律型
例3(2002福建福州)觀察下列各式：l2+1=1×2，22+2=2×3，32+3＝3×4，……
請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n≥1)表示出來 .
分析：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律：n2+n=n(n+1).
這個結(jié)論就是用提公因式法把n2+n進行了因式分解.
例4（2003青海）請先觀察下列算式，再填空：
（1）
（2）
（3）（ ）
（4）
通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論： .
分析：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)：
（1）
（2）
（3）（ 11 ）
（4）
通過觀察歸納，得到這種規(guī)律的一般結(jié)論是兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除（或說是8的倍數(shù)）.
如果我們分別用2n+1和2n-1表示兩個相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有
(2n+1)2 – (2n-1)2 = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n.
三、開放創(chuàng)新型
例5（2003福建南平）請寫出一個三項式，使它能先提公因式，在運用公式來分解.
你編寫的三項式是_______________，分解因式的結(jié)果是________________.
分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個等式，在它的兩邊都乘一個因式，比如
2m(m+n)2 = 2m(m2+2mn+n2)=2m3+2m2n+2mn2,
3a(2x-5y)2=3a[(2x)2-2×2x×5y+(5y)2]=3a(4x2-20xy+25y2)=12ax2-60axy+75ay2，等等.
于是編寫的三項式可以是2m3+2m2n+2mn2，分解因式的結(jié)果是2m(m+n)2；
或者編寫的三項式可以是12ax2-60axy+75ay2，分解因式的結(jié)果是3a(2x-5y)2，等等.
例6（2003四川）多項式9x2 + 1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是_________________________(填上一個你認為正確的即可).
分析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab+b2= (a±b)2的特點，若
從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項式，也可以是單項式. 注意到9x2=(3x)2，1=12，所以，保留二項式9x2 + 1中的任何一項，都是“一個整式的完全平方”，故所加單項式還可以是-1或者 - 9x2，此時有9x2 + 1-1=9x2=(3x)2，或者9x2 + 1-9x2=12.
綜上分析，可知所加上的單項式可以是±6x、20.25x4、-1或者 - 9x2.
四、數(shù)形結(jié)合型
例7（2002陜西）如圖1，在長為a 的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖2),通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式,則這個等式是( D )
A．a(chǎn)2－b2＝(a十b)(a—b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab 十b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a十2b)(a－b)＝＝a2＋ab －2b2
分析：圖1表示的是a2－b2，圖2表示的是(a十b)(a—b)，兩者面積相等，所以a2－b2＝(a十b)(a—b).
故選A．
例8（2002年山東省濟南市中考題）請你觀察圖3，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是_____________．
圖3
分析：圖中所表示的整個正方形的面積是x2，兩個小正方形的面積分別是y2與（x-y）2，利用這些數(shù)據(jù)關(guān)系，結(jié)合圖形便可以寫出以下公式：
x2-2xy+y2 = (x-y)2，或者x2-y2 = (x+y)(x-y).
當然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式.
根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊含的數(shù)學公式，是“數(shù)形結(jié)合思想”的具體體現(xiàn).
例9（2003山西）有若干張如圖4所示的正方形和長方形卡片，
圖4
表中所列四種方案能拼成邊長為
數(shù)量（張）
方案
（1）
（2）
（3）
A
1
1
2
B
1
1
1
C
1
2
1
D
2
1
1
分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（a+b）2.
因為a2+2ab+b2=（a+b）2，對照圖4所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為a2、b2和ab，它們分別需要1張、1張、2張. 由此可選出正確答案為A.
例10（2003山西太原）如圖5是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式
圖5
分析：外框圍成的大正方形面積為（a+b）2，4個矩形的面積之和為4ab，中間的空白部分的面積為(a-b)2.于是，可以列出等式（a+b）2-4ab = (a-b)2.
對于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：
（a+b）2-4ab =a2+2ab+b2-4ab = a2-2ab+b2 = (a-b)2.
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