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數學的另一面：猜想和發現
創造，在數學學習中意味著什么？許多教師認為，學生不可能有“本質”的創造，他們在數學上的“創造”就是一題多解。張思明卻不這樣看，他說：“學生學習數學是一個有指導的再創造過程。數學學習的本質是學生的再創造。相對于數學家的創造來說，學生的創造大體上是一種相對于他們的已知世界和舊有知識體系的自主地拓展、開掘和再創造的工作，它應該或盡量由學生相對獨立地去完成�！睘榱税l展學生的創新精神和實踐能力，教師應該關注學生建構知識的過程，努力挖掘創新點，給學生提供充分的再創造機會。 眾所周知，把立體幾何平面化，把多維問題降維，是解決立體幾何問題的基本思路。如何將這種方法教給學生呢？張思明在黑板上畫出兩種圖形，左邊是已學過的正三角形，右邊是還未學過的正四面體。他請學生觀察它們的異同，并且根據正三角形的性質猜測正四面體的性質。學生們通過觀察，對平面圖形與立體圖形的異同有了直觀認識，經過討論，得出了正四面體的一些性質(見下圖)(略） 問題并沒有到此結束，張思明又啟發學生，讓他們自己找一找比較類似的平面圖形和立體圖形，并且按照上面的方法找出立體圖形的性質。這個問題具有開放性，學生們找出了很多圖形來進行對比：直角三角形和特殊三棱錐(墻旮旯)、一般三角形和一般三棱錐、正方形和正方體、矩形和長方體、平行四邊形和平行六面體、圓和球、扇形和球扇形。對于這些圖形，張思明指導學生先從平面到立體進行類比的聯想、猜測，找出哪些性質可以由平面“自然”遷移到立體；再引導他們逆向思考，看看是否有立體圖形成立而平面圖形不成立的性質。隨著問題的逐步深入和難度的逐漸加深，學生慢慢掌握了從平面幾何到立體幾何“合情推理”的方法，他們的智力潛能以及探求科學真理的勇氣也被充分地調動起來�！ � 匈牙利數學家波利亞說過：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學看起來像是一門試驗性的歸納科學。”傳統的數學教學過分強調“演繹推理”的作用，甚至有“將數學窄化為演繹”的傾向。由于演繹是一種從一般規則推導出特例的推理方法，學生就總是先學概念、定理，然后再運用它們去解題。課堂上知識的建構往往被“聽講”所代替，學生看不到數學“生動活潑”的面孔，更沒法享受“發現的樂趣”。張思明大膽地將立體幾何的教學變成了學生的“發現之旅”，不僅使他們在一種興奮的狀態中接觸了數學知識，而且初步了解了歸納、類比、猜想等對于日常生活和科學發現都極為重要的思維方法。 當被問及“猜想”的教育價值，張思明不無感慨地說到：“數學上講‘大膽推理，小心求證’。但中國人的毛病就是大膽的方面都已經退化了。學生剛剛說點自己的想法，就遭到‘棒殺’。小孩子把太陽畫成藍色的，老師就會批評他是色盲。孩子會說，從家里的彩色玻璃看出去，太陽就是藍的；或是夏天的時候，太陽要是藍的，人們該有多清爽啊。‘大膽猜想’的思維方式在中國人身上已經退化了，還是應該鼓勵孩子們去想，特別是基礎教育。想的時候要大膽，但求證的時候一定要認真，這就是一種數學意識�！� 在教學實踐中，張思明還把這種想法滲透于習題課的教學之中，提出要充分發揮班級教學的優勢，鼓勵學生之間互相討論和啟發�！耙寣W生自己提出猜想，這樣，他就會有追求證明的渴望，此時的數學教學才最富有吸引力。”教師只有在學生受阻的時候才給些方向性的點撥，而不要硬把他們趕上事先預設好的道路。只有這樣，學生才能體驗到猜想和發現的樂趣，才能真正提高提出問題和解決問題的能力。