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多問一個“為什么”——數學教學不應忽視對數學基礎和數學哲學問題的探討
數學發端于古代人們計數與度量的實際需要。現代的許多數學理論盡管具有非常抽象的形式，但它同時也是現實世界空間形式和數量關系的深刻反映，因此可以廣泛地應用于自然科學、社會科學和技術的各個部門，對人類認識自然和改造自然，起著重要的作用。 在我國中小學的課程設置中，數學作為一門主課，被賦予大量的課時。在大學，不僅理工科的學生要學習高等數學，許多文科專業也開設了高等數學。這是數學重要性的體現。然而，在我們的數學教學中，過于注重按部就班地講述教科書上現有的數學定義和數學命題，介紹各種計算題和證明題的解題方法，讓學生做大量的習題，卻忽視了與數學有關的一些根本性問題的說明和討論，特別是數學基礎和數學哲學問題。 前不久，中央電視臺10套的一檔節目中，嘉賓提出這樣一個問題：“有理數多還是無理數多？”有三個答案供在場的學生選擇：（A）有理數多，（B）無理數多，（C）一樣多。結果，絕大多數學生選擇了B，嘉賓表示了肯定。 這一問題看似淺顯，但要真正理解它提出的知識背景，并作較深入的闡述，并不那么容易，因為它與某些數學概念、數學理論賴以成立的基本前提有關，涉及了數學基礎和數學哲學研究中的一個重要問題——“無限觀”，即應該如何看待數學中出現的無限多的對象（如無限多的自然數、有理數、無理數）的問題。 在數學的研究中，有兩種“無限觀”。當學生們作“無理數多”的解答時，是根據學過的集合論的有關知識來回答的。集合論是一百多年前德國數學家康托爾創立的，這種理論建立在一種“無限觀”——“實無限”的基礎上。所謂“實無限”，即把“無限”作為一個已經完成了的觀念實體來看待。在集合論中用N＝｛（n：n是自然數｝表示全體自然數的集合就是如此。 然而，集合論之前的幾千年的數學發展史中，數學研究中占主導地位的卻是古希臘哲學家亞里士多德所主張的另一種無限觀——“潛無限”的觀念，即把“無限”看作一個不斷發展著的、又永遠無法完成的過程來看待。把自然數看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…，就是如此。如果采用“潛無限”的觀念，“有理數多，還是無理數多？”這一問題就沒有什么意義，因為有理數和無理數都為數無窮，而“無限”是一個不斷發展著的、又永遠無法完成的過程，不能加以比較。正如伽利略所說：“‘等于’、‘大于’和‘小于’諸性質不能用于無限，而只能用于有限的數量。” 還需要說明的是，盡管現在集合論已進入中學和大學的數學教科書，成為全部經典數學的理論基礎，但是它并非無懈可擊。人們已先后發現了一系列的“集合論悖論”，這說明集合論隱含著邏輯矛盾，使用集合論和采用“實無限”觀念來研究數學，可能會出問題。這也從一個側面說明了數學理論只具有相對的真理性。 學習數學理論如此，對數學方法同樣要多思考。初中學習平面幾何，學生就接觸了公理方法，這種常用的數學方法源于古希臘數學家歐幾里德的《幾何原本》，它具有嚴格、高度概括的特點。然而，為什么要選擇這些公理而不選另一些呢？公理方法有沒有什么限度呢？正是對《幾何原本》中公理選擇方式的質疑，導致了后來的“非歐幾何”的創建；對公理化方法的限度的討論，則推動了近代的數理邏輯和數學哲學的發展。可見，學會提出問題、思考問題是多么重要，“問題”是科學發展的推動力。 筆者學了多年數學，大學本科讀的是數學專業，可是，直到投入程其襄教授門下，就讀數理邏輯專業的研究生，才剛剛接觸本文前述的那些數學基礎問題。記得研一時讀的一本英文書中某一節的標題是：“Whatistwo？”（2是什么？），讀罷茅塞頓開：原來自然界中有的只是一個個具體的事物，如1把椅子、2張桌子等等，卻找不到1、2、…之類的數。自然數是人們觀念的產物，是思維中的對象。看似簡單、從小就熟悉的自然數，要真正理解卻并不簡單。 數學基礎是研究數學的對象、性質和方法的學科，它以數學本身為研究對象，考察重要的數學概念、數學理論和數學方法賴以成立的背景和條件，探究數學的真理性，涉及一系列數學研究中的根本問題，包括數學哲學問題。可以這么說，數學基礎是讓我們在學習或研究數學的時候，對最基本的數學概念、數學理論和數學方法再問一個“為什么”。我以為，這將使我們的數學學習或研究有更高的立足點。 筆者近年來承擔了1999年版《辭海》和正在編纂的《大辭海》（數學卷）“數學基礎·數理邏輯”分科詞條的撰寫，深知數學基礎和數學哲學的重要性。向公眾、特別是高中生和大學生普及一些與數學基礎和數學哲學有關的知識，也許會使他們更喜歡數學，同時在學習數學時也多問一個“為什么”。 （作者為華東師范大學哲學系教授，上海邏輯學會副會長） <關閉本頁>
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