橢 圓 及 其 標 準 方 程

橢 圓 及 其 標 準 方 程

橢 圓 及 其 標 準 方 程 胡挺員 10月16日 《中學數學》  1 觀察與實驗（課外完成）   T：在自然界、科學界、技術界乃至我們的生活中都存在大量的“橢圓”形態，請大家注意觀察，看能發現多少；并根據書上介紹的用繩子畫橢圓的方法試著畫些橢圓。   2 閱讀與交流（1課時）   觀察與實驗的交流（略）   T：鑒于橢圓的重要性，我們有必要進一步對其進行定性和定量的研究。下面請大家閱讀本節教材，對重、疑點作出標記，并盡可能用自己的想法進行解釋。半小時后我們一起交流（教師巡回指導）。   T：下面我們開始交流。有疑的提問，無疑的為同學或者為我釋疑。   S：（1）為什么要把“焦距”和“常數”設為2c和2a?而不設為c和a？   （2）在“設a2-c2=b2“時，為什么要規定”b>0"?   （3）是否可以按畫圓的直觀圖的方法畫橢圓？   T：（4）改變橢圓定義中“大于|F1F2|”結果如何？   （5）推導橢圓標準方程的方程變形過程是否為等價變形？   （釋疑過程略）   3 探索與創新（課外完成）   T：江澤民同志多次強調指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力。”（《人民日報》1998年12月24日）。那么，對橢圓標準方程的推導你能否通過探索有所創新？下堂課展示大家的研究成果。   4 成果與點評（約1課時）   思路一：（S俞滄粟等）由A+B=2a，左邊分子有理化，建立關于A、B的方程組，求出A或B，…   T：逆向思維、方程思想！   思路二：（S王一克等）由A+B=2a，為迅速去根號，尋找與之配偶的共軛根式A-B=？。令A-B=Z，與A+B=2a聯立解得Z，進而求出A、B。…   T：求簡意識、方程思想！   思路三：（S周元、李高艷等提出思路）受用細繩畫橢圓的實驗的啟發（當兩定點漸漸靠近重合為一點時，橢圓變為圓），試圖尋找橢圓和圓的標準方程之間的聯系。由圓x2+y2=a2各點的縱坐標縮短到原來的b/a倍得到橢圓x2+(a/b)2y2=1,即x2/a2+y2/b2=1。   T：實驗的感知、理性的思索！   思路四：（S孫亮、王韻等）受例2啟發，由兩圓方程（x+c）2+y2=r2與(x-c)2+y2=(2a-r)2（r為參數）聯立獲得。   T：得益于對“曲線的方程”的深刻理解和轉化的思想！   思路五：（S俞滄粟、孫亮等）由(x/a)2+(y/b)2=1聯想Sin2a+Cos2a=1,為使兩者溝通，想到了三角函數定義。利用分別以a、b為半徑，以原點為圓心的兩個同心圓進行構造（是一條獲得橢圓參數方程的精彩思路）。   T：反思、聯想、構造、數形結合。   思路六：（T）由A+B=2a直接平方整理，注意結構特征，進行合理運算——膽量與智慧的結合！   思路七：（T）一個定點、一個定值的情況我們熟悉，為此，先考慮一個定點F1和一個定長2a（拉成一條線段）的情形，由此可發現，橢圓就是以F1為圓心、2a為半徑的圓的半徑的外端點與F2的連線的垂直平分線與該半徑的交點的軌跡——退一步，實現轉化！選修“幾何畫板的學習和應用”的同學不妨在電腦上玩一玩，你將會獲得橢圓之外的驚喜！   5 反思與伏筆   T：上面我們根據橢圓的定義得到了推導橢圓標準方程的許多思路（思路一~四、六），是由“形”到“數”的過程；又通過對標準方程的反思，獲得了推導標準方程的新思路（思路五），是由“數”再到“數”的過程。還運用了以退求進的策略對橢圓作出了另一種解釋（思路七），這顯然是從“形”到“形”的收獲。那么，你能否從“數”到“形”再作些研究？比如由a2-cx=aB進行適當變形，對橢圓作出新的幾何解釋？         

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