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參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用
參數(shù)方程在解析幾何中是一個(gè)十分重要的內(nèi)容，而且是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。近幾年來高考對(duì)參數(shù)方程和極坐標(biāo)的要求稍有降低，但是，可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)系緊密。本文以具體的例子闡述參數(shù)方程的廣泛應(yīng)用。一、探求幾何最值問題
有時(shí)在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。
例1（1984年考題） 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為△ABC的內(nèi)切圓的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。
解 由，運(yùn)用正弦定理，可得：
∵sinA·cosA=sinB·cosB
∴sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
∴A+B=，則△ABC為直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為
所以圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2 過拋物線 （t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)0＜θ＜π，當(dāng)θ取什么值時(shí)，｜AB｜取最小值。
解 拋物線 （t為參數(shù)）
的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。
設(shè)直線l的參數(shù)方程為：
（θ為參數(shù)）
代入拋物線方程＝2px得：
又∵0＜θ＜π
∴當(dāng)θ=時(shí)，｜AB｜取最小值2p。
二、解析幾何中證明型問題
運(yùn)用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡(jiǎn)捷地解決有關(guān)與過定點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離有關(guān)的問題。
例3 在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。
證明 設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，
A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)。
又，設(shè)AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：
將①、②代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)得：
同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：
｜FM｜·｜FN｜=
∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。
雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)引一直線和雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，又過一焦點(diǎn)F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
證明 由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α，則直線AB
的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)）
代入，可得：
據(jù)題設(shè)得直線CD方程為 （t為參數(shù)）
代入，得：，從而得，
即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
三、探求解析幾何定值型問題
在解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，有二個(gè)變?cè)粲脜?shù)方程則只有一個(gè)變?cè)瑒t對(duì)于有定值和最值時(shí)，參數(shù)法顯然比較簡(jiǎn)單。
例5 從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。
解 化方程為參數(shù)方程：
（θ為參數(shù)）
設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，則P(3cosθ,2sinθ)。
于是，直線BP的方程為：
直線的方程為：
令y=0代入BP,的方程，分別得它們?cè)趚軸上的截距為和。
故截距之積為：（）·（）=9。
四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題
例6 如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點(diǎn)，試求m、n滿足
的條件。
分析 如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯(cuò)誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因。若運(yùn)用參數(shù)方程來解，則可“輕車熟路”，直達(dá)解題終點(diǎn)。
解 設(shè)橢圓的參數(shù)方程為
拋物線的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)）
因它們相交，從而有：
由②得：
代入①得：
配方得：。即
∵1≤≤9 ∴-2≤n-m≤2
所以｜m-n｜≤2為兩曲線有公共點(diǎn)的條件。
注：特別地，當(dāng)n=3/2時(shí)，即為廣東省1985年高考理科第34題。
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