深究習例開拓能力

深究習例開拓能力

深究是一種重要的思想方法和學習方法。
    教師充分挖掘課本習、例題的潛能，不僅能開拓學生的解題思路，激發學生的學習興趣，而且還能有效地 開拓學生的能力，提高教學質量。
    一、變形創新，培養思維轉換能力
    思維轉換能力是指：由一種思維對象轉移到另一種思維對象，由一種思維方式過渡到另一種思維方式的能 力，也就是通常所說的思維的靈活性。適當地把問題引伸、變形，對于調動學生的學習興趣，學習的積極性和 主動性，激發學生的求知欲望，拓寬解題思路、培養思維轉換能力，有著重要意義。如：
    例1，如圖1，MN是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，求證：點A，B與MN的距離和等于⊙O的直徑。（《幾何》第 三冊P116第8題）
    （附圖 {圖}）
    圖1
    此題是很普通的習題，但經過深究，不難發現它的內涵之豐富。
    （一）解題方法
    1.連結OC，證明半徑OC是直角梯形的中位線。
    2.過C作CG⊥AB，連結AC、BC，證明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG
    BE AD OC
    3.如圖2，連結OC，延長AB交MN于P，顯然sinP=──=──=── ?
    PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
    從而 BE+AD=2OC
    （附圖 {圖}）
    圖2
    （二）變形創新
    如果MN不是切線，而是割線，則有
    例2，如圖3，AB是⊙O的直徑，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同側）兩點，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分別為D、 C，連結AF、AE，設AD=a，CD=b，BC=c，求證：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根
    DF+DE DF+DE
    證明：①證tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
    AD a
    b
    ②過O作OG⊥EF，證DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，
    a
    BC
    ③連結BE，證 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得
    CE
    c
    tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──結論已明。
    a
    （附圖 {圖}）
    圖3
    二、創設反面，培養逆向思維能力
    所謂逆向思維，就是與原有的思維方向完全相反的思維。逆向思維能有效地打破思維定勢，啟動思維轉換 機制。當我們的思維陷入某種困境時，逆向思維往往使人茅塞頓開。因此，創設命題的逆命題，是深究問題的 又一重要方面。如：
    例3，如圖4，Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3cm和4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，求： BD的長。（《幾何》第三冊P128第2題）
    （附圖 {圖}）
    （附圖 {圖}）
    圖4
    此題是很簡單的解答題，但經深究，可創設：
    命題：如圖5，Rt△ABC中，兩條直角邊是AC、BC，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，過D作圓的切線，交 BC于E，求證：E是BC中點。
    證明：連結CD、OD，證EB=ED
    從而得：E是BC中點。
    （附圖 {圖}）
    圖5
    逆命題：BC、AC是Rt△ABC的兩條直角邊，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，E是BC中點，求證：DE是圓的 切線。
    證明：連結OD、CD、OE，證△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，結論得證。
    充分挖掘這種習、例題的潛能，創設新穎課題，使學生在積極的探究中學到了知識，發展了智力，提高了 能力。
    三、由此及彼，培養思維的廣闊性
    思維的廣闊性，也稱為思維的廣度，是指思路的寬廣，富有想象力，善于從多角度、多方向、多層次去思 考問題，認識問題和解決問題。
    數學習題浩如煙海，如何從“題海”中解脫出來，提高教學能力呢？這就要求我們對課本的習、例題不僅 僅滿足于具體方法，而應該挖掘題目中的豐富內涵，訓練學生思維的靈活性、廣闊性，提高邏輯思維能力和發 展創造能力。如：
    例4，如圖6，△ABC中，E是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于D，求證：DE=DB。（《幾何》第三 冊P117第12題）

    證明：連結BE，證∠BED=∠DBE?DE=DB。
    （附圖 {圖}）
    圖6
    例5，如圖7，△ABC中，∠A和∠B的平分線相交于I，AI交邊BC于D，交△ABC的外接圓于點E，求證；IE[2, ]=AE·DE。
    證明：連結BE，證△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE，再證IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。
    （附圖 {圖}）
    圖7
    例6，如圖8，△ABC中，∠A的平分線交BC于F，交△ABC的外接圓于D，連結BD，過D作△ABC的外接圓的切線 ，交AC的延長線于E，如果AB:AC=3:2，BD=3?，DE+EC=6，求：BF的長。
    （附圖 {圖}）
    圖8
    解：連結CD，證BD[2,]=BF·DE，
    36-2EC
    再證AC= ─── ，
    EC
    12
    后證AC= ──，從而求得：BF=4.5。
    EC
    如果AD不是∠A的平分線，而是△ABC外接圓的直徑，那么有
    例7，如圖9，AE是△ABC外接圓的直徑，AE交BC于D，求證：tgB·
    ADtgC=──
    DE
    證明：連結BE、CE，
    AC
    證tgB=tgCEA=──
    CE
    AB
    tgC=tgBEA=──
    BE
    AD AB·AC AD
    再證──=──── ，從而得tgB·tgC=──
    DE BE·CE DE
    （附圖 {圖}）
    圖9
    如上所述，抓住題目的特征，適當的演變、引伸、拓寬，不僅溝通了知識間的內在聯系，使學生思維活動 始終處于一種由淺入深，由此及彼，由一題到一路的“動態”進程之中，而且充分調動了學生學習的積極性和 主動性，激發了他們的求知欲望和學習興趣，進一步發展了思維能力。
    四、拋磚引玉，特殊試探，發展智力，提高能力
    為了解題的需要，用一些特殊的數、式、圖形位置試探，從而獲得解題思路。如：
    例8，如圖10，△ABC中，∠A的平分線和外接圓相交于D，BE是圓的切線，DF⊥BC，DG⊥BE，垂足分別為F， G。
    (1)求證：DF=DG（《幾何》第三冊P131第6題）。
    (2)設R是BD上一點（不包括點B）。
    求證：S△RGB:S△RBC=1:2
    (1)證明：連結BD，證∠CBD=∠EBD，即得DF=DG。
    (2)分析：這是個定值的論證，且定值為1:2，如何尋求這個定值呢？一個命題在一般情況下是正確的，則 在特殊情況下也必然正確。本題動點R在BD上，那么把點R取在點D處，DF⊥BC，垂足為F，不難證明BF:BC=1:2， 也容易證明BD是∠CBE的平分線，點R在BD上，因為點R到∠CBE兩邊的距離相等，所以△RBG與△RBC的面積比與 R在BD所取的位置無關，現在只要證明BG=BF。
    1
    證明：①證BF=── BC ，
    2
    ②證BG=BF，
    ③設點R到BG、BC的距離分別為h[,1]、h[,2]，則h[,1]=h[,2]
    所以，S△RGB:S△RBC=1:2。
    （附圖 {圖}）
    圖10
    又如例9，如圖11，P是⊙O外一點，PA、PB分別和⊙O切于點A、B，PA=PB=4cm，∠APB=40°，C是弧AB上任 意一點，過C作⊙O的切線，分別交PA、PB于D、E。求：(1)△PDE的周長，(2)∠DOE的度數。（《幾何》第三冊 P133第2題）
    解：連結OA、OB、OC，①證DC=DA，EC=EB，可求得△PAB的周長=PA+PB=8(cm)，②證
    1 1
    ∠DOC=─ ∠AOC，∠EOC=─∠BOC
    2 2
    可求得∠DOE=70°
    （附圖 {圖}）
    圖11
    本題難度不大，但在原題基礎上加以變換更新，能使題目新穎，更有效地培養學生的智力，提高解題能力 。如：
    例10，如圖12，P是⊙O外一點，PA、

PB分別和⊙O切于點A，B，PA=PB=L，∠APB=n°，C是弧AB上任意一點 ，過C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，求證：△PDE的周長和∠DOE的度都為定值。
    分析：定值問題中的所求“定”而無“值”，證明方向不明，這是這類問題最大的難處，如何突破這個難 關呢？可以這樣引導和啟發學生：C是弧AB上任意一點，那么把點C取在弧AB的中點上，射線PCO是∠APB的對稱 軸，射線DO是∠ADC的對稱軸，由此可得△PDE的周為定值2L，∠DOE
    1的定值為90°- ──n°，那么一般地就要證明：PD+DC+CE+PE=2L
    2
    1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。從求證式的結構特征，容易想
    2到，證明中必須用切線長定理。
    連結OA、OB、OC
    ∵DA、DC分別切⊙O于A、C
    1
    ∴DC=DA，∠DOC=─ ∠AOC，
    2
    1
    同理：CE=EB，∠EOC=─ ∠BOC
    2
    ∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
    1 1
    ∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
    2 2
    1
    即PD+DE+PE=2L，∠DOE=90°- ──n°，結論已明。
    2
    （附圖 {圖}）
    圖12
    課本習、例題有豐富的內涵，對強化雙基，開發智力，培養能力，有著極大的潛在價值。深入挖掘其豐富 內涵，引導學生進行適當的觀察、比較、猜測、聯想、引伸、拓廣，由此及彼等思維訓練，不僅可以把彼此孤 立的知識串聯成線，聯結成網，溝通成面，使學生解一題明一路，提高學習效率，而且還可以有效地培養學生 各種思維能力，提高分析問題、解決問題和探索創新的能力。

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