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數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)危機(jī)及其對(duì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)作用
數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)危機(jī)及其對(duì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)作用悖論是讓數(shù)學(xué)家無(wú)法回避的問題。悖論出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)體系出現(xiàn)不可靠性和失真理性，這就逼迫數(shù)學(xué)家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應(yīng)運(yùn)而生了，因而悖論在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展中的巨大作用。現(xiàn)在我作如下簡(jiǎn)單闡述：
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”,而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”.畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)√2 的誕生。這卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。這一偉大發(fā)現(xiàn)不但對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊，也對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.
二百年后，歐多克索斯提出的新比例理論暫時(shí)消除悖論。一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了圓周率是無(wú)理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無(wú)理數(shù)存在的人才多起來(lái)。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來(lái)后，無(wú)理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)微積分誕生，但是微積分理論是不嚴(yán)格的。理論都建立在無(wú)窮小分析之上，作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。
數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”.籠統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究竟是否為0”的問題：就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。
十八世紀(jì)開始微積分理論獲得了空前豐富。然而，與此同時(shí)十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作也導(dǎo)致謬誤越來(lái)越多的局面。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的混亂局面了。尤其到十九世紀(jì)初，傅立葉理論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)問題的徹底暴露。這樣把分析重新建立在邏輯基礎(chǔ)之上就成為數(shù)學(xué)家們迫在眉睫的任務(wù)。到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時(shí)期降臨了。
使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。
柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系。1892年，另一個(gè)數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來(lái)建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來(lái)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。
十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而這使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?br />
可是，1903年一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S,根據(jù)S的定義，S就不屬于S;反之，如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義，S就屬于S.無(wú)論如何都是矛盾的。
羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
危機(jī)產(chǎn)生后，人們希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則。1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。
以上簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)史上由于悖論而導(dǎo)致的三次數(shù)學(xué)危機(jī)與解決，從中我們不難看到悖論在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展中的巨大作用。而悖論提出的正是讓數(shù)學(xué)家無(wú)法回避的問題。正如希爾伯特在《論無(wú)限》一文中所指出的那樣：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長(zhǎng)期忍受下去的。人們?cè)囅耄涸跀?shù)學(xué)這個(gè)號(hào)稱可靠性和真理性的模范里，每一個(gè)人所學(xué)的、教的和應(yīng)用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)果。如果甚至于數(shù)學(xué)思考也失靈的話，那么應(yīng)該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學(xué)家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應(yīng)運(yùn)而生了：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)由此獲得了蓬勃發(fā)展。
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