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反函數數學教案
作為一位杰出的老師，常常需要準備教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優秀的教案是什么樣的呢？下面是小編整理的反函數數學教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
反函數數學教案1
教學目標
1.使學生了解反函數的概念,初步掌握求反函數的方法.
2.通過反函數概念的學習,培養學生分析問題,解決問題的能力及抽象概括的能力.
3.通過反函數的學習,幫助學生樹立辨證唯物主義的世界觀.
教學重點,難點
重點是反函數概念的形成與認識.
難點是掌握求反函數的方法.
教學用具
投影儀
教學方法
自主學習與啟發結合法
教學過程
一. 揭示課題
今天我們將學習函數中一個重要的概念----反函數.
1.4. 反函數(板書)
(一)反函數的概念(板書)
二.講解新課
教師首先提出這樣一個問題:在函數 中,如果把 當作因變量,把 當作自變量,能否構成一個函數呢?(讓學生思考后回答,要講明理由)可以根據函數的定義在 的允許取值范圍內的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對應.(還可以讓學生畫出函數的圖象,從形的角度解釋“任一 對唯一 ”)
學生解釋后教師指出不管從哪個角度,它都是一個函數,即 有反函數,而且把這個函數稱為 的反函數.那么這個反函數的解析式是什么呢?
由學生回答出應為 .教師再提出 它作為函數是沒有問題的,但不太符合我們的表示習慣,按習慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動之后帶來一個新問題: 和 是同一函數嗎?
由學生討論,并說明理由,要求學生能從函數三要素的角度去認識,并給出解釋,讓學生真正承認它們是同一函數.并把 叫做 的反函數.繼而再提出: 有反函數嗎？是哪個函數?
學生很快會意識到 是 的反函數,教師可再引申為 與 是互為反函數的然后利用問題再引申:是不是所有的函數都有反函數呢?如果有,請舉出例子.在教師啟發下學生可以舉出象 這樣的函數,若將 當自變量, 當作因變量,在 允許取值范圍內一個 可能對兩個 (可畫圖輔助說明,當 時,對應 ),不能構成函數,說明此函數沒有反函數.
通過剛才的例子,了解了什么是反函數,把對 的反函數的研究過程一般化,概括起來就可以得到反函數的定義,但這個數學的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關的內容.
1. 反函數的定義:(板書)(用投影儀打出反函數的.定義)
為了幫助學生理解,還可以把定義中的 換成某個具體簡單的函數如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個函數,最后改寫為 .給出定義后,再對概念作點深入研究.
2.對概念得理解(板書)
教師先提出問題:反函數的“反”字應當是相對原來給出的函數而言,指的是兩者的關系你能否從函數三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來說)
學生很容易先想到對應法則是“反”過來的,把 與 的位置換位了,教師再追問它們的互換還會帶來什么變化?啟發學生找出另兩個要素之間的關系.最后得出結論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的再把結論從特殊發展到一般,概括為:反函數的三要素是由原來函數的三要素決定的給出的函數確定了,反函數的三要素就已經確定了.簡記為“三定”.
(1)“三定”(板書)
然后要求學生把剛才的三定具體化,也就是“反”字的具體體現.由學生一一說出反函數的定義域是原來函數的值域,反函數的值域是原來函數的定義域,反函數的對應法則就是把原來函數對應法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過程)如圖
最后教師進一步明確“反”實際體現為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.
(2)“三反”(板書)
此時教師可把問題再次引向深入,提出:如果一個函數存在反函數,應怎樣求這個反函數呢?下面我給出兩個函數,請同學們根據自己對概念的理解來求一下它們的反函數.
例1. 求 的反函數.(板書)
(由學生說求解過程,有錯或不規范之處,暫時不追究,待例2解完之后再一起講評)
解:由 得 , 所求反函數為 .(板書)
例2. 求 , 的反函數.(板書)
解:由 得 ,又 得 ,
故所求反函數為 .(板書)
求完后教師請同學們作評價,學生之間可以討論,充分暴露表述中得問題,讓學生自行發現,自行解決.最后找代表發表意見,指出例2中問題,結果應為 , .
教師可先明知故問 ,與 , 有什么不同?讓學生明確指出兩個函數定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數.再追問 從何而來呢?讓學生能從三定和三反中找出理由,是從原來函數的值域而來.
在此基礎上,教師最后明確要求,由于反函數的定義域必是原來函數的值域,而不是從自身解析式出發尋求滿足的條件,所以求反函數,就必須先求出原來函數的值域.之后由學生調整剛才的求解過程.
解: 由 得 ,又 得 ,
又 的值域是 ,
故所求反函數為 , .
(可能有的學生會提出例1中為什么不求原來函數的值域的問題,此時不妨讓學生去具體算一算,會發現原來函數的值域域求出的函數解析式中所求定義域時一致的,所以使得最后結果沒有出錯.但教師必須指出結論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規范求解過程要求大家一定先求原來函數的值域,并且在最后所求結果上注明反函數的定義域,同時讓學生調整例的表述,將過程補充完整)
最后讓學生一起概括求反函數的步驟.
3.求反函數的步驟(板書)
(1) 反解:
(2) 互換
(3) 改寫:
對以上環節教師可稍作解釋,然后提出再通過下面的練習來檢驗是否真正理解了.
三.鞏固練習
練習:求下列函數的反函數.
(1) (2) .(由兩名學生上黑板寫)
解答過程略.
教師可針對學生解答中出現的問題,進行講評.(如正負的選取,值域的計算,符號的使用)
四.小結
1. 對反函數概念的認識:
2. 求反函數的基本步驟:
五.作業
課本第68頁習題2.4第1題中4,6,8,第2題.
六.板書設計
2.4反函數 例1. 練習.
一. 反函數的概念 (1) (2)
1. 定義
2. 對概念的理解 例2.
(1) 三定(2)三反
3. 求反函數的步驟
(1)反解(2)互換(3)改寫
反函數數學教案2
教學目標
1.使學生了解反函數的概念；
2.使學生會求一些簡單函數的反函數；
3.培養學生用辯證的觀點觀察、分析解決問題的能力。
教學重點
1.反函數的概念；
2.反函數的求法。
教學難點
反函數的概念。
教學方法
師生共同討論
教具裝備
幻燈片2張
第一張：反函數的定義、記法、習慣記法。（記作A）；
第二張：本課時作業中的預習內容及提綱。
教學過程
（I）講授新課
（檢查預習情況）
師：這節課我們來學習反函數（板書課題）§2.4.1 反函數的概念。
同學們已經進行了預習，對反函數的概念有了初步的了解，誰來復述一下反函數的定義、記法、習慣記法？
生：（略）
（學生回答之后，打出幻燈片A）。
師：反函數的定義著重強調兩點：
（1）根據y= f(x)中x與y的關系，用y把x表示出來，得到x= φ（y）；
（2）對于y在c中的任一個值，通過x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它對應。
師：應該注意習慣記法是由記法改寫過來的。
師：由反函數的定義，同學們考慮一下，怎樣的映射確定的函數才有反函數呢？
生：一一映射確定的函數才有反函數。
（學生作答后，教師板書，若學生答不來，教師再予以必要的啟示）。
師：在y= f(x)中與y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x與后者中的x都屬于同一個集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自變量，y是函數值；后者y是自變量，x是函數值。）
在y= f(x)中與y= f –1(x)中的x都是自變量，y都是函數值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，請同學們談一下，函數y= f(x)與它的反函數y= f –1(x)兩者之間，定義域、值域存在什么關系呢？
生：（學生作答，教師板書）函數的定義域，值域分別是它的反函數的值域、定義域。
師：從反函數的概念可知：函數y= f (x)與y= f –1(x)互為反函數。
從反函數的概念我們還可以知道，求函數的反函數的方法步驟為：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）將x= f –1(y)改寫成y= f –1(x)，即對調x= f –1(y)中的.x、y。
（3）指出反函數的定義域。
下面請同學自看例1
（II）課堂練習 課本P68練習1、2、3、4。
（III）課時小結
本節課我們學習了反函數的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數才有反函數并求函數的反函數的方法步驟，大家要熟練掌握。
（IV）課后作業
一、課本P69習題2.4 1、2。
二、預習：互為反函數的函數圖象間的關系，親自動手作題中要求作的圖象。
板書設計
課題： 求反函數的方法步驟：
定義：（幻燈片）
注意： 小結
一一映射確定的
函數才有反函數
函數與它的反函
數定義域、值域的關系