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一元二次不等式的解法
教學目標
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；
（3）了解簡單的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函數與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們三者之間的內在聯系；
（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；
（6）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；
（7）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀．
教學重點：一元二次不等式的解法；
教學難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系．
教與學過程設計
第一課時
Ⅰ．設置情境
問題：
①解方程
②作函數 的圖像
③解不等式
【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？
【回答】函數圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式 的解集為函數圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。
通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用
在這里我們發現一元一次方程，一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系。利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖像上！）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？
Ⅱ．探索與研究
我們現在就結合不等式 的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程 的解集為
不等式 的解集為
【置疑】哪位同學還能寫出 的解法？（請一程度差的同學回答）
【答】不等式 的解集為
我們通過二次函數 的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。
下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見，暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題：
如果相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數 的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）
【答】二次函數 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。
現在請同學們觀察表中的二次函數圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）
【答】 的解集依次是
的解集依次是
它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數 的圖像。
課本第19頁上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項系數 的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀。現在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數圖像。
（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）
Ⅲ．演練反饋
1．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
2．若代數式 的值恒取非負實數，則實數x的取值范圍是 。
3．解不等式
（1） （2）
參考答案：
1．（1） ；（2） ；（3） ；（4）R
2．
3．（1）
（2）當 或 時， ，當 時，
當 或 時， 。
Ⅳ．總結提煉
這節課我們學習了二次項系數 的一元二次不等式的解法，其關鍵是抓住相應二次函數的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。
（五）、課時作業
（P20．練習等3、4兩題）
（六）、板書設計
第二課時
Ⅰ．設置情境
（通過講評上一節課課后作業中出現的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）
上節課我們只討論了二次項系數 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數 的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？
Ⅱ．探索研究
（學生議論紛紛．有的說仍然利用二次函數的圖像，有的說將二次項的系數變為正數后再求解，……．教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解．）
生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據可得的圖像便可求得二次項系數 的一元二次不等式的解集．
生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數變為正數后直接運用上節課所學的方法求解就可以了．
師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的．不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論．這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤．而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4．
（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍．）
[知識運用與解題研究]
由此例可知，對于二次項系數的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節課所學過的方法。我們就能求
解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式．（調兩位程度中等的學生演板）
（1） （2）
（分別為課本P21習題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題．）
訓練二 可化為一元一次不等式組來求解的不等式．
目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩．故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式時則根據（有理數）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解．現在清同學們閱讀課本P20上關于不等式 求解的內容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題．）
【答】因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集．
這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關系，故它們必相等，現在請同學們求解以下各不等式．（調三位程度各異的學生演板．教師巡視，重點關注程度較差的學生）．
（1） ［P20練習中第1大題］
（2） ［P20練習中第1大題］
（3） ［P20練習中第2大題］
（老師扼要講評三位同學的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問題．然后講解P21例5）．
例5 解不等式
因為（有理數）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解 （或 ）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。
解：（略）
現在請同學們完成課本P21練習中第3、4兩大題。
（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）
[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。
（通過多媒體或其他載體給出下列各題）
1．不等式 與 的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]
2．解下列不等式：
（1） ［課本P22第8大題（2）小題］
（2） ［補充］
（3） ［課本P43第4大題（1）小題］
（4） ［課本P43第5大題（1）小題］
（5） ［補充］
（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）
參考答案：
1．不對。同 時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化為： ，即
解集為 。
（3）原不等式可化為
解集為
（4）原不等式可化為 或
解集為
（5）原不等式可化為： 或 解集為
Ⅲ．總結提煉
這節課我們重點講解了利用（有理數）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。
（五）布置作業
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板書設計
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