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下學(xué)期 5.5 線段的定比分點(diǎn)
一．教學(xué)目標(biāo)
1．理解點(diǎn)P分有向線段所成的比λ的含義，能確定λ的正負(fù)號(hào)；
2．掌握有向線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用這兩個(gè)公式解決實(shí)際問題；
3．向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)現(xiàn)事物間的變化規(guī)律.
二．教學(xué)重點(diǎn) 線段的定比分點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)公式的應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn) 用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式解題時(shí)區(qū)分λ＞0還時(shí)λ＜0．
三．教學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀，直尺．
四．教學(xué)過程
1．設(shè)置情境
已知線段 的兩個(gè)端點(diǎn) 、 ， 為線段 所在直線上任一點(diǎn)，由共線向量知識(shí)，必有 ．我們能否解決這樣的問題，（1）已知 及 、 ，求P點(diǎn)坐標(biāo) ；（2）已知 、 及 ，求 值．
本節(jié)課就來討論上述兩個(gè)問題，（板書課題——線段的定比分點(diǎn)）
2．探索研究
（1）師：請(qǐng)同學(xué)們回憶敘述向量的加、減、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則．
生：兩個(gè)向量的和（差）的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量的相應(yīng)的坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于這個(gè)實(shí)數(shù)與這個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積．
師：已知直線l上兩點(diǎn) 、 ，在直線l上取不同于 、 的任一點(diǎn)P，則P點(diǎn)的位置有哪幾種情形？
生：有三種情形，P在 之間；P在 的延長(zhǎng)線上，P在 的延長(zhǎng)線上．
師：請(qǐng)得很好，下面我們就P在直線 上的三種情況給出定義：
設(shè) 、 是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于 、 的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 ，則 叫做點(diǎn)P分有向線段 所成的比．
你能根據(jù)P點(diǎn)的三種不同的位置和實(shí)數(shù)與向量的積的向量方向確定 的取值范圍嗎？（啟發(fā)學(xué)生從向量的方向上考慮）
生：當(dāng)P在 之間時(shí)， 與 方向相同，所以 ；當(dāng)點(diǎn)P在 的延長(zhǎng)線上時(shí)， ；若點(diǎn)P在 的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得 ．
下面我們利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算推導(dǎo)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式
師：設(shè) ， ，P分 所成的比為 ，如何求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢？
（按以下思路引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考）
師：設(shè) ，你能用坐標(biāo)表示等式 嗎？
生：
師：由兩個(gè)向量相等的條件，可以得出什么結(jié)論呢？
生：
師：對(duì)！這就是線段 的定比分點(diǎn)P的坐標(biāo)公式，特別地，當(dāng) 時(shí)，得中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式：
（2）例題分析
【例1】 已知兩點(diǎn) ， ，求點(diǎn) 分 所成的比 及y的值．
解：由線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得
【例2】 如圖所示， 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ， ，D是邊AB的中點(diǎn)，G是CD上的一點(diǎn)，且 ，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解：∵D是AB的中點(diǎn)
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為
∵
∴
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得G點(diǎn)坐標(biāo)為：
即點(diǎn)G的坐標(biāo)為 ，也就是 的重心的坐標(biāo)公式．
3．演練反饋（投影）
（1）如圖所示，點(diǎn)B分有向線段 的比為 ，點(diǎn)C分有向線段 的比為 ，點(diǎn)A分有向線段 的比為 ．
（2）連結(jié)A（4，1）和B（－2，4）兩點(diǎn)的直線，和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，和y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
（3）如圖所示， 中，AB的中點(diǎn)是D（－2，1），AC的中點(diǎn)是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐標(biāo)．
參考答案：（1） ；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作圖得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
4．總結(jié)提煉
（1）定比分點(diǎn)的幾種表達(dá)方式：
……向量式
……坐標(biāo)式
……公式形式
（2）中點(diǎn)公式，重心公式要熟記．
（3）定比分點(diǎn)公式也是判定或證明兩向量是否共線、平行的有效方法．
五．板書設(shè)計(jì)
1．定比分點(diǎn)的定義
（1）內(nèi)分點(diǎn) 3．例1
（2）外分點(diǎn)
a．
b．
2．分點(diǎn)坐標(biāo)公式 4．演練反饋
a． 5．總結(jié)提煉
b．
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