數學教案－充分條件與必要條件

數學教案－充分條件與必要條件

教學目標

　　（1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；
　　（2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；
　　（3）培養(yǎng)學生的邏輯思維能力及歸納總結能力；
　　（4）在充要條件的教學中，培養(yǎng)等價轉化思想．

教學建議

（一）教材分析

1．知識結構

　　首先給出推斷符號“ ”，并引出充分條件與必要條件的意義，在此基礎上講述了充要條件的初步知識．

2．重點難點分析

　　本節(jié)的重點與難點是關于充要條件的判斷．

　　（1）充分但不必要條件、必要但不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件是重要的數學概念，主要用來區(qū)分命題的條件 和結論 之間的因果關系．

　　（2）在判斷條件 和結論 之間的因果關系中應該：

　　①首先分清條件是什么，結論是什么；

　　②然后嘗試用條件推結論，再嘗試用結論推條件．推理方法可以是直接證法、間接證法（即反證法），也可以舉反例說明其不成立；

　　③最后再指出條件是結論的什么條件．

　　（3）在討論條件 和條件 的關系時，要注意：

　　①若 ，但 ，則 是 的充分但不必要條件；

　　②若 ，但 ，則 是 的必要但不充分條件；

　　③若 ，且 ，則 是 的充要條件；

　　④若 ，且 ，則 是 的充要條件；

　　⑤若 ，且 ，則 是 的既不充分也不必要條件．

　　（4）若條件 以集合 的形式出現，結論 以集合 的形式出現，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷．

　　①若 ，則 是 的充分條件；

　　顯然，要使元素 ，只需 就夠了．類似地還有：

　　②若 ，則 是 的必要條件；

　　③若 ，則 是 的充要條件；

　　④若 ，且 ，則 是 的既不必要也不充分條件．

　　（5）要證明命題的條件是充要條件，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立．證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性．由于原命題 逆否命題，逆命題 否命題，當我們證明某一命題有困難時，可以證明該命題的逆否命題成立，從而得出原命題成立．

（二）教法建議

　　1．學習充分條件、必要條件和充要條件知識，要注意與前面有關邏輯初步知識內容相聯(lián)系．充要條件中的 ， 與四種命題中的 ， 要求是一樣的．它們可以是簡單命題，也可以是不能判斷真假的語句，也可以是含有邏輯聯(lián)結詞或“若 則 ”形式的復合命題．

　　2．由于這節(jié)課概念性、理論性較強，一般的教學使學生感到枯燥乏味，為此，激發(fā)學生的學習興趣是關鍵．教學中始終要注意以學生為主，讓學生在自我思考、相互交流中去結概念“下定義”，去體會概念的本質屬性．

　　3．由于“充要條件”與命題的真假、命題的條件與結論的相互關系緊密相關，為此，教學時可以從判斷命題的真假入手，來分析命題的條件對于結論來說，是否充分，從而引入“充分條件”的概念，進而引入“必要條件”的概念．

　　4．教材中對“充分條件”、“必要條件”的定義沒有作過多的解釋說明，為了讓學生能理解定義的合理性，在教學過程（www.ycxgx.cn）中，教師可以從一些熟悉的命題的條件與結論之間的關系來認識“充分條件”的概念，從互為逆否命題的等價性來引出“必要條件”的概念．

 

教學設計示例

充要條件

教學目標：

　　（1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；

　　（2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；

　　（3）培養(yǎng)學生的邏輯思維能力及歸納總結能力；

　　（4）在充要條件的教學中，培養(yǎng)等價轉化思想．

教學重點難點：關于充要條件的判斷

教學用具：幻燈機或實物投影儀

教學過程（www.ycxgx.cn）設計

1．復習引入

　　練習：判斷下列命題是真命題還是假命題（用幻燈投影）：

　　（1）若 ，則 ；

　　（2）若 ，則 ；

　　（3）全等三角形的面積相等；

　　（4）對角線互相垂直的四邊形是菱形；

　　（5）若 ，則 ；

　　（6）若方程 有兩個不等的實數解，則 ．

（學生口答，教師板書．）

　　（1）、（3）、（6）是真命題，（2）、（4）、（5）是假命題．

　　置疑：對于命題“若 ，則 ”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？

　　答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，則原命題是真命題，否則就是假命題．

　　對于命題“若 ，則 ”，如果由 經過推理能推出 ，也就是說，如果 成立，那么 一定成立．換句話說，只要有條件 就能充分地保證結論 的成立，這時我們稱條件 是 成立的充分條件，記作 ．

　　2．講授新課

　　（板書充分條件的定義．）

　　一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的充分條件．

　　提問：請用充分條件來敘述上述（1）、（3）、（6）的條件與結論之間的關系．

（學生口答）

　　（1）“ ，”是“ ”成立的充分條件；

　　（2）“三角形全等”是“三角形面積相等”成立的充分條件；

　　（3）“方程 的有兩個不等的實數解”是“ ”成立的充分條件．

　　從另一個角度看，如果 成立，那么其逆否命題 也成立，即如果沒有 ，也就沒有 ，亦即 是 成立的必須要有的條件，也就是必要條件．

（板書必要條件的定義．）

　　提出問題：用“充分條件”和“必要條件”來敘述上述6個命題．

（學生口答）．

　　（1）因為 ，所以 是 的充分條件， 是 的必要條件；

　　（2）因為 ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

　　（3）因為“兩三角形全等” “兩三角形面積相等”，所以“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件；

　　（4）因為“四邊形的對角線互相垂直” “四邊形是菱形”，所以“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要條件，“四邊形是菱形”是“四邊形的對角線互相垂直”的充分條件；

　　（5）因為 ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

　　（6）因為“方程 的有兩個不等的實根” “ ”，而且“方程 的有兩個不等的實根” “ ”，所以“方程 的有兩個不等的實根”是“ ”充分條件，而且是必要條件．

　　總結：如果 是 的充分條件， 又是 的必要條件，則稱 是 的充分必要條件，簡稱充要條件，記作 ．

（板書充要條件的定義．）

3．鞏固新課

　　例1  （用投影儀投影．）

B

A是B的什么條件

B是 的什么條件

是有理數

是實數

   

   

、 是奇數

是偶數

   

   

   

   

   

是4的倍數

是6的倍數

   

（學生活動，教師引導學生作出下面回答．）

　　①因為有理數一定是實數，但實數不一定是有理數，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　　② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　　③ 、 是奇數，那么 一定是偶數； 是偶數， 、 不一定都是奇數（可能都為偶數），所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

　　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分條件；

　　⑤由交集的定義可知 且 是 成立的充要條件；

　　⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要條件；

　　⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分條件；

　　⑧易知“ 是4的倍數”是“ 是6的倍數”成立的既非充分又非必要條件；

　　（通過對上述問題的交流、思辯，在爭論中得到了正確答案，并加深了對充分條件、必要條件的認識．）

　　例2  已知 是 的充要條件， 是 的必要條件同時又是 的充分條件，試 與 的關系．（投影）

　　解：由已知得

，

　　所以 是 的充分條件，或 是 的必要條件．

　　4．小結回授

　　今天我們學習了充分條件、必要條件和充要條件的概念，并學會了判斷條件A是B的什么條件，這為我們今后解決數學問題打下了等價轉化的基礎．

　　課內練習：課本（人教版，試驗修訂本，第一冊（上））第 35頁練習l、2；第36頁練習l、2．

　　（通過練習，檢查學生掌握情況，有針對性的進行講評．）

　　5．課外作業(yè)：教材第36頁      習題1.8    1、2、3．

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