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圓的內(nèi)接四邊形
1. 知識結(jié)構(gòu)
2. 重點、難點分析
重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．它是圓中探求角相等或互補關(guān)系的常用定理，同時也是轉(zhuǎn)移角的常用方法．
難點：定理的靈活運用．使用性質(zhì)定理時應(yīng)注意觀察圖形、分析圖形，不要弄錯四邊形的
外角和它的內(nèi)對角的相互對應(yīng)位置．
3. 教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要一個課時．
（1）教師的重點是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個探究問題的情境（參看教學(xué)設(shè)計示例），組織學(xué)生自主觀察、分析和探究；
（2）在教學(xué)中以“發(fā)現(xiàn)——證明——應(yīng)用”為主線，以“特殊——一般”的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與證明的思想方法．
一、教學(xué)目標：
（一）知識目標
（1）了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念；
（2）掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理；
（3）熟練運用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行計算和證明．
（二）能力目標
（1）通過圓的特殊內(nèi)接四邊形到圓的一般內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力；
（2）通過定理的證明探討過程，促進學(xué)生的發(fā)散思維；
（3）通過定理的應(yīng)用，進一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力和思維能力．
（三）情感目標
（1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)生的探究的熱情；
（2）滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點．
二、教學(xué)重點和難點:
重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．
難點：定理的靈活運用．
三、教學(xué)過程設(shè)計
（一）基本概念
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．
（二）創(chuàng)設(shè)研究情境
問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？
研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形）
教師組織、引導(dǎo)學(xué)生研究．
1、邊的性質(zhì)：
（1）矩形：對邊相等，對邊平行．
（2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．
（3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．
歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì)．
2、角的關(guān)系
猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．
（三）證明猜想
教師引導(dǎo)學(xué)生證明．（參看思路）
思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢?
∠A= ，∠C=
∴∠A+∠C=
思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結(jié)果呢?
這時有2(α+β+γ+δ)=360°
所以 α+β+γ+δ=180°
而 β+γ=∠A，α+δ=∠C，
∴∠A+∠C=180°，可得，圓內(nèi)接四邊形的對角互補．
（四）性質(zhì)及應(yīng)用
定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任意一個外角等于它的內(nèi)對角．
（對A層學(xué)生應(yīng)知，逆定理成立， 4點共圓）
例 已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，經(jīng)過A的直線與⊙O1交于點C，與⊙O2交于點D．過B的直線與⊙O1交于點E，與⊙O2交于點F．
求證：CE∥DF．
（分析與證明學(xué)生自主完成）
說明：①連結(jié)AB這是一種常見的引輔助線的方法．對于這道例題，連結(jié)AB以后，可以構(gòu)造出兩個圓內(nèi)接四邊形，然后利用圓內(nèi)接四邊形的關(guān)于角的性質(zhì)解決．
②教師在課堂教學(xué)中，善于調(diào)動學(xué)生對例題、重點習(xí)題的剖析，多進行一點一題多變，一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，勇于創(chuàng)新．
鞏固練習(xí)：教材P98中1、2．
（五）小結(jié)
知識：圓內(nèi)接多邊形——圓內(nèi)接四邊形——圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
思想方法：①“特殊——一般”研究問題的方法；②構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形；③一題多解，一題多變．
（六）作業(yè)：教材P101中15、16、17題；教材P102中B組5題．
探究活動
問題： 已知，點A在⊙O上，⊙A與⊙O相交于B、C兩點，點D是⊙A上（不與B、C重合）一點，直線BD與⊙O相交于點E．試問：當(dāng)點D在⊙A上運動時，能否判定△CED的形狀？說明理由．
分析 要判定△CED的形狀，當(dāng)運動到BD經(jīng)過⊙A的圓心A時，此時點E與點A重合，可以發(fā)現(xiàn)△CED是等腰三角形，從而猜想對一般情況是否也能成立，進一步觀察可發(fā)現(xiàn)在運動過程中∠D及∠CED的大小保持不變，△CED的形狀保持不變．
提示：分兩種情況
（1）當(dāng)點D在⊙O外時．證明△CDE∽△CAD’即可
（2）當(dāng)點D在⊙O內(nèi)時． 利用圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角可證明△CDE∽△CAD’即可
說明：（1）本題應(yīng)用同弧所對的圓周角相等，及圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角，改變圓周角頂點位置，進行角的轉(zhuǎn)換；
（2）本題為圖形形狀判定型的探索題，結(jié)論的探索同樣運用圖形運動思想，證明結(jié)論將一般位置轉(zhuǎn)化成特殊位置，同時獲得添輔助線的方法，這也是添輔助線的常用的思想方法；
（3）一般地，有時對幾種不同位置圖形探索得到相同結(jié)論，但不同位置的證明方法不同時，也要進行分類討論．本題中，如果將直線BD運動到使點E在BD的反向延長線上時，
△CDE仍然是等腰三角形．
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