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數(shù)學(xué)教案－一元二次方程的根的判別式（一）
1. 知識結(jié)構(gòu)：
2. 重點、難點分析
（1）本節(jié)的重點是會用判別式判定根的情況.一元二次方程的根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也可以利用它進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，所以，它是本節(jié)課的重點.
（2）本節(jié)的難點是一元二次方程根的三種情況的推導(dǎo).教科書首先將一元二次方程用配方法變形為 .因為，所以方程右邊的符號就由來確定，而方程左邊的不可能是一個負數(shù)，因此，把分三種情況來討論方程根的情況.推導(dǎo)過程中利用了分類的思想方法，對于分類討論學(xué)生感覺到較難，老師應(yīng)該講明分類的基本思想。
3. 教法建議：
（1）引入要自然、合理
新課引入前，作一個鋪墊：前面我們講了一元二次方程的解法，我們掌握了開平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一個一元二次方程，但是，存在這樣一個問題，并不是所有的一元二次方程都有解，我們可以通過把解求出來，來解方程，也可以通過判定方程無解，來解方程，這樣我們就面臨著一個問題，什么時候方程有解？什么時候方程無解？我們不解方程能不能判定根的情況？那就是我們本節(jié)所要研究的問題.讓學(xué)生首先感覺到所要學(xué)習(xí)的知識并不突然，也顯露了本節(jié)課的重點.
（2）利用多媒體進行教學(xué)
本節(jié)是根的判別式結(jié)論的推導(dǎo)，比較抽象，為了便于學(xué)生理解，使用所提供的動畫，有助于學(xué)生對所講內(nèi)容的理解，調(diào)動學(xué)生主動思維的積極性，活躍課堂氣氛，提高學(xué)習(xí)效率.
（3）本節(jié)在推導(dǎo)根的判別式的結(jié)論時，利用了分類的思想，對于學(xué)生這是一個難點，一定給學(xué)生講清楚分類的依據(jù)，分類的基本思想，使學(xué)生對所得結(jié)論深信不疑.
一、教學(xué)目標
1. 理解一元二次方程的根的判別式，并能用判別式判定根的情況；
2. 通過根的判別式的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力；
3．通過根的情況的研究過程，讓學(xué)生深刻體會轉(zhuǎn)化和分類的思想方法.
二、重點·難點及解決辦法
1．教學(xué)重點：會用判別式判定根的情況。
2．教學(xué)難點：一元二次方程根的三種情況的推導(dǎo).
3．解決辦法：（1）求判別式時，應(yīng)先將方程化為一般形式，確定a、b、c。（2）利用判別式可以判定一元二次方程的存在性情況（共四種）；方程有兩個實數(shù)根，方程有兩個不相等的實數(shù)根，方程有兩個相等的實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根。
三、教學(xué)步驟
（一）教學(xué)過程（www.ycxgx.cn）
1．復(fù)習(xí)提問
（1）平方根的性質(zhì)是什么？
（2）解下列方程：① ；② ；③ 。
問題（1）為本節(jié)課結(jié)論的得出起到了一個很好的鋪墊作用。問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節(jié)課的結(jié)論的得出起到了一個推波助瀾的作用。
2．任何一個一元二次方程 用配方法將其變形為 ，因此對于被開方數(shù) 來說，只需研究 為如下幾種情況的方程的根。
（1）當 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
即
（2）當 時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即 。
（3）當 時，方程沒有實數(shù)根。
教師通過引導(dǎo)之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答： 。
3．①定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。
②一元二次方程 。
當 時，有兩個不相等的實數(shù)根；
當 時，有兩個相等的實數(shù)根；
當 時，沒有實數(shù)根。
反之亦然。
注意以下幾個問題：
（1） 這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況。正確得出三種情況的結(jié)論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊。在這里應(yīng)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法。
（2）當 ，說“方程 沒有實數(shù)根”比較好。有時，也說“方程無解”。這里的前提是“在實數(shù)范圍內(nèi)無解”，也就是方程無實數(shù)根的意思。
4．例題講解
例1 不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1） ；（2） ；（3） 。
解：（1）
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根。
（2）原方程可變形為
。
，
∴原方程有兩個相等的實數(shù)根。
（3）原方程可變形為
。
∴原方程沒有實數(shù)根。
學(xué)生口答，教師板書，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的（2）計算 的值；（3）判別根的情況。
強調(diào)兩點：（1）只要能判別 值的符號就行，具體數(shù)值不必計算出。（2）判別根據(jù)的情況，不必求出方程的根。
練習(xí)：不解方程，判別下列方程的情況：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6）
學(xué)生板演、筆答、評價。
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設(shè) ，判別方程 根的情況，由此判別原方程根的情況。
例2 不解方程，判別方程 的根的情況。
解： 。
又 ∵ 不論k取何實數(shù)， ，
∴ 原方程有兩個實數(shù)根。
教師板書，引導(dǎo)學(xué)生回答。此題是含有字母系數(shù)的一元二次方程。注意字母的取值范圍，從而確定 的取值。
練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況。
（1） ；
（2） ；
（3） 。
學(xué)生板演、筆答、評價。教師滲透、點撥。
（3）解：
∵ 不論m取何值， ，即 。
∴ 方程無實數(shù)解。
由數(shù)字系數(shù)，過渡到字母系數(shù)，使學(xué)生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值。
（二）總結(jié)、擴展
1．判別式的意義及一元二次方程根的情況。
（1）定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。
（2）一元二次方程 。
當 時，有兩個不相等的實數(shù)根；
當 時，有兩個相等的實數(shù)根；
當 時，沒有實數(shù)根。反之亦然。
2．通過根的情況的研究過程，深刻體會轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法。
四、布置作業(yè)
教材P27A1～4。
5．不解方程，判斷下x的方程的根的情況
（1）
（2）
五、板書設(shè)計
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