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數學教案－二次根式的化簡
教學建議
知識結構
重難點分析
本節的重點是 的化簡.本章自始至終圍繞著二次根式的化簡與計算進行，而 的化簡不但涉及到前面學習過的算術平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質，還要牽涉到絕對值以及各種非負數、因式分解等知識，在應用中常常需要對字母進行分類討論.
本節的難點是正確理解與應用公式
.
這個公式的表達形式對學生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學生往往容易出現錯誤.
教法建議
1.性質的引入方法很多，以下2種比較常用：
（１）設計問題引導啟發：由設計的問題
1） 、 、 各等于什么？
2） 、 、 各等于什么？
啟發、引導學生猜想出
�。�2）從算術平方根的意義引入．
2．性質的鞏固有兩個方面需要注意：
（1）注意與性質 進行對比，可出幾道類型不同的題進行比較；
�。�2）學生初次接觸這種形式的表示方式，在教學時要注意細分層次加以鞏固，如單個數字，單個字母，單項式，可進行因式分解的多項式，等等．
（第1課時）
一、教學目標
1.掌握二次根式的性質
2.能夠利用二次根式的性質化簡二次根式
3.通過本節的學習滲透分類討論的數學思想和方法
二、教學設計
對比、歸納、總結
三、重點和難點
1.重點：理解并掌握二次根式的性質
2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數，并能根據字母的取值范圍正確地化簡有關的二次根式．
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設計
復習對比，歸納整理，應用提高，以學生活動為主
七、教學過程（www.ycxgx.cn）
一、導入新課
我們知道，式子 （ ）表示非負數 的算術平方根．
問：式子 的意義是什么？被開方數中的 表示的是什么數？
答：式子 表示非負數 的算術平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數．
二、新課
計算下列各題，并回答以下問題：
�。�1） ； �。�2） ； �。�3） ；
�。�4） ； �。�5） ； （6）
�。�7） ；�。�8）
1．各小題中被開方數的冪的底數都是什么數？
2．各小題的結果和相應的被開方數的冪的底數有什么關系？
3．用字母 表示被開方數的冪的底數，將有怎樣的結論？并用語言敘述你的結論．
答：
�。�1） ；�。�2） ；�。�3） ；
�。�4） ； （5） ；�。�6）
（7） ；�。�8） ．
1．（1），（2），（3）各題中的被開方數的冪的底數都是正數；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數的冪的底數都是負數；（8）題被開方數的冪的底數是0．
2．（1），（2），（3），（8）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數分別互為相反數．
3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數的冪的底數，有
�。� ），
用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數的冪的底數，有
�。� ）．
一個非負數的平方的算術平方根，等于這個非負數本身；一個負數的平方的算術平方根，等于這個負數的相反數．
問：請把上述討論結論，用一個式子表示．（注意表示條件和結論）
答：
請同學回憶實數的絕對值的代數意義，它和上述二次根式的性質有什么聯系？
答：
填空：
1．當 _________時， ；
2．當 時， ，當 時， ；
3．若 ，則 ________；
4．當 時， ．
答：
1．當 時， ；
2．當 時， ，
當 時， ；
3．若 ，則 ；
4．當 時， ．
例1 化簡 （ ）．
分析：可以利用積的算術平方根的性質及二次根式的性質化簡．
解 ，因為 ，所以 ，所以
．
指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據已知條件中 的取值范圍，確定其結果．
例2 化簡 （ ）．
分析：根據二次根式的性質，當 時， ．
解 ．
例3 化簡：（1） （ ）；�。�2） �。� ）．
分析：根據二次根式的性質，當 時， ．
解 （1） ．
（2） ．
注意：（1）題中的被開方數 ，因為 ，所以 ．
（2）題中的被開方數 ，因為 ，所以 ．
這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出．
例4 化簡 ．
分析：根據二次根式的性質，有
．
所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡．
解 因為 ， ，所以
， ．
所以
．
三、課堂練習
1．求下列各式的值：
�。�1） ； �。�2） ．
2．化簡：
�。�1） ； （2） ；
�。�3） （ ）；�。�4） （ ）．
3．化簡：
（1） ； �。�2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；�。�6） （ ）．
答案：
1．（1）0.1； （2） ．
2．（1） ；�。�2） ；�。�3） ；�。�4） ．
3．（1）4；�。�2）1.5；�。�3）0.09； （4）－1；�。�5）4；�。�6）－1．
四、小結
1．二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數．
2．化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據已知條件中字母 的取值范圍，確定其結果．
3．在化簡中，注意運用題設中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件．
五、作業
1．化簡：
（1） ； �。�2） ；
（3） �。� ）； （4） �。� ）；
（5） ； �。�6） （ ， ）；
�。�7） （ ）．
2．化簡：
�。�1） ；
（2） （ ）；
（3） （ ， ）．
答案：
1．（1）－30； （2） ；�。�3） ；
（4） ；�。�5） ； （6） ；�。�7） ．
2．（1）2； （2）0；�。�3） ．
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