數學教案－軸對稱和軸對稱圖形

數學教案－軸對稱和軸對稱圖形

1、知識目標：

　　（1）使學生理解軸對稱的概念；

　　（2）了解軸對稱的性質及其應用；

　　（3）知道軸對稱圖形與軸對稱的區別.

　　2、能力目標：

　　（1）通過軸對稱和軸對稱圖形的學習，提高學生的觀察辨析圖形的能力和畫圖能力；

　　（2）通過實際問題的練習，提高學生解決實際問題的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）通過軸對稱圖形的學習，體現數學中的美，感受數學中的美．

　　教學重點：軸對稱和軸對稱圖形的概念，軸對稱的性質及判定

　　教學難點：區分軸對稱和軸對稱圖形的概念

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：觀察實驗

　　教學過程（www.ycxgx.cn）：

　　1、概念：（閱讀教材，回答問題）

　　（1）對稱軸

　　（2）軸對稱

　　（3）軸對稱圖形

　　學生動手實驗，說明上述概念．最后總結軸對稱及軸對稱圖形這兩個概念的區別：

　　軸對稱涉及兩個圖形，是兩個圖形的位置關系．軸對稱圖形只是針對一個圖形而言．

　　軸對稱和軸對稱圖形都有對稱軸，如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線對稱．

　　2、定理的獲得

　　（投影）：觀察軸對稱的兩個圖形是否為全等形

　　定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

　　由此得出：

　　定理2：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線．

　　啟發學生，寫出此定理的逆命題，并判斷是否為真命題?由此得到：

　　逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱．

　　學生繼續觀察得到

　　定理3：兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．

　　說明：上述定理2可以看成是軸對稱圖形的性質定理，逆定理則是判定定理．

　　上述問題的獲得，都是由定理1引發、變換、延伸得到的．教師應充分抓住這次機會，培養學生變式問題的研究．

　　2、常見的軸對稱圖形

圖形

對稱軸

點A

過點A的任意直線

直線m

直線m,m的垂線

線段AB

直線AB，線段AB的中垂線

角

角平分線所在的直線

等腰三角形

底邊上的中線

　　3、應用

　　例1　如圖，已知：△ABC，直線MN，求作△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁與△ABC關于MN對稱．

　　分析：按照軸對稱的概念，只要分別過A、B、C向直線MN作垂線，并將垂線段延長一倍即可得到點A、B、C關于直線MN的對稱點，連結所得到的這三個點．

　　作法：（1）作AD⊥MN于D，延長AD至A₁使A₁D＝AD，

　　得點A的對稱點A₁

　　（2）同法作點B、C關于MN的對稱點B_1、、C₁

　　（3）順次連結A₁、B₁、C₁

　　∴△A₁B₁C₁即為所求
　例2　如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，

　　且AC＝BD，若A到河岸CD的中點的距離為500cm．問：

　　（1）牧童從A處牧牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？

　　（2）最短路程是多少？

　　解：問題可轉化為已知直線CD和CD同側兩點A、B，

　　在CD上作一點M，使AM+BM最小，

　　先作點A關于CD的對稱點A₁，

　　再連結A₁B，交CD于點M，

　　則點M為所求的點．

　　證明：（1）在CD上任取一點M₁，連結A₁ M₁、A M₁

　　B M₁、AM

　　∵直線CD是A、A₁的對稱軸，M、M₁在CD上

　　∴AM＝A₁M，AM₁＝A₁M₁

　　∴AM+BM＝AM₁+BM＝A₁B

　　在△A₁ M₁B中

　　∵A₁ M₁+BM₁＞AM+BN即AM+BM最小

　　（2）由（1）可得AM＝AM₁，A₁C＝AC＝BD

　　∴△A₁CM≌△BDM

　　∴A₁M＝BM，CM＝DM

　　即M為CD中點，且A₁B＝2AM

　　∵AM＝500m

　　∴最簡路程A₁B＝AM+BM＝2AM＝1000m

　　例3　已知：如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA到E，使AE＝BD，連結CE、DE

　　求證：CE＝DE

　　證明：延長BD至F，使DF＝BC，連結EF

　　∵AE＝BD，　△ABC為等邊三角形

　　∴BF＝BE，　∠B＝

　　∴△BEF為等邊三角形

　　

　　∴△BEC≌△FED

　　∴CE＝DE

　　5、課堂小結：

　　（1）軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系

　　區別：軸對稱是說兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形；軸對稱涉及兩個圖形，軸對稱圖形只對一個圖形而言

　　聯系：這兩個定義中都涉及一條直線，都沿其折疊而能夠重合；二者都具有相對性：即若把軸對稱圖形沿軸一分為二，則這兩個圖形就關于原軸成軸對稱，反之，把兩個成軸對稱的圖形全二為一，則它就是一個軸對稱圖形．

　　（2）解題方法：一是如何畫關于某條直線的對稱圖形（找對稱點）

　　二是關于實際應用問題“求最短路程”．

　　6、布置作業：

　　書面作業P120＃6、8、9

　　板書設計：

 

探究活動

　　兩個全等的三角板，可以拼出各種不同的圖形，如圖已畫出其中一個三角形，請你分別補出另一個與其全等的三角形，使每個圖形分成不同的軸對稱圖形（所畫三角形可與原三角形有重疊部分）

　　

　　解：

　　

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