數學教案－正數與負數
教學目標
1．使學生理解正數與負數的概念，并會判斷一個給定的數是正數還是負數；
2. 會初步應用正負數表示具有相反意義的量；
3．使學生初步了解有理數的意義，并能將給出的有理數進行分類；
4．培養學生逐步樹立分類討論的思想；
5. 通過本節課的教學，滲透對立統一的辯證思想。
教學建議
一、重點、難點分析
本課的重點是了解正數與負數是由實際需要產生的以及有理數包括哪些數。難點是學習負數的必要性及有理數的分類。關鍵是要能準確地舉出具有相反意義的量的典型例子以及要明確有理數分類的標準。
正、負數的引入，有各種不同的方法。教材是由學生熟知的兩個實例：溫度與海拔高度引入的。比0℃高5攝氏度記作5℃，比0 ℃低5攝氏度，記作－5℃；比海平面高8848米，記作8848米，比海平面低155米記作－155米。由這兩個實例很自然地，把大于0的數叫做正數，把加“－”號的數叫做負數；0既不是正數也不是負數，是一個中性數，表示度量的“基準”。這樣引入正、負數，不僅有利于學生正確使用正、負數表示具有相反意義的量，而且還將幫助學生理解有理數的大小性質。把負數理解為小于0的數。教材中，沒有出現“具有相反意義的量”的概念。這是有意回避或淡化這個概念。目的是，從正、負數引入一開始就能較深刻的揭示正、負數和零的性質，幫助學生正確理解正、負數的概念。
關于有理數的分類要明確的是：分類標準不同，分類結果也不同，分類結果應是不重不漏，即每一個數必須屬于某一類，又不能同時屬于不同的兩類。
二、知識結構
1．正數、負數和零的概念
正數
負數
零
象1、2.5、 、48等大于零的數叫正數
象-1、-2.5， ，-48等小于零的數叫負數
0叫做零，0既不是正數也不是負數
2．有理數的分類
三、教法建議
這節課是在小學里學過的數的基礎上，從表示具有相反意義的量引進負數的．從內容上講，負數比非負數要抽象、難理解．因此在教學方法和教學語言的選擇上，盡可能注意中小學的銜接，既不違反科學性，又符合可接受性原則。例如，在講解有理數的概念時，讓學生清楚地認識有理數與算術數的根本區別，有理數是由兩部分組成：符號部分和數字部分(即算術數)．這樣，在理解算術數和負數的基礎上，對有理數的概念的理解就簡便多了．
為了使學生掌握必要的數學思想和方法，在明確有理數的分類時，可以有意識地滲透分類討論的思想方法，理解分類的標準、分類的結果，以及它們的相互聯系。通過正數、負數都統一于有理數，可以將對立統一的辯證思想的逐步樹立滲透到日常教學中。
四、正數與負數概念的理解
1﹒對于正數和負數的概念，不能簡單的理解為：帶“＋”號的數是正數，帶“－”號的數是負數。例如： 一定是負數嗎？答案是不一定。因為字母 可以表示任意的數，若 表示正數時， 是負數；當 表示0時， 就在0的前面加一個負號，仍是0，0不分正負；當 表示負數時， 就不是負數了，它是一個正數，這些下節將進一步研究。
2﹒引入負數后，數的范圍擴大為有理數，奇數和偶數的外延也由自然數擴大為整數，整數也可以分為奇數和偶數兩類，能被2整除的數是偶數，如…－6，－4，－2，0，2，4，6…，不能被2整除的數是奇數，如…－5，－4，－2，1，3，5…
3﹒到現在為止，我們學過的數細分有五類：正整數、正分數、0、負整數、負分數，但研究問題時，通常把有理數分為三類：正數、0、負數，進行討論。
4﹒通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數；負整數和0統稱為非正整數。
五、有理數的分類
整數和分數統稱為有理數。
1）正整數、零、負整數統稱為整數；正分數、負分數統稱為分數。這樣有理數按整數、分數的關系分類為：
2）整數也可以看作分母為1的分數，但為了研究方便，本章中分數是指不包括整數的分數。因此，有理數按正數、負數、0的關系還可分類為：
3）注意概念中所用“統稱”二字，它與說“整數和分數是有理數”的意思不大一樣。前者回避了分數是否包括整數的問題，即使把整數包括在分數范圍內，說“統稱”還是不錯，而用后一種說法就欠妥了。
4）分數和小數的區別：
分數（既約分數）都可表示成小數，但不是所有的小數都能表示成分數的。如圓周率就不能表示成分數。
5）到目前為止，所學過的數（除外）都是有理數。
教學設計示例
正數與負數(一)
一、素質教育目標
（一）知識教學點
1．了解：正數與負數是實際需要的．
2．掌握：會判斷一個數是正數還是負數．
3．應用：會初步應用正負數表示溫度、海拔高度等互為相反數意義的量．
（二）能力訓練點
通過正數、負數的學習，培養學生應用數學知識的意識，訓練學生善于運用新知識解決實際問題的能力．
（三）德育滲透點
1．從實際問題引入正數、負數，然后通過實例鞏固，讓學生感知到數學知識來源于生活并為生活服務．
2．通過正負數的學習，滲透對立、統一的辯證思想．
（四）美育滲透點
通過引人負數，學生會感覺得小學里學的數是“不全”的，從而通過本節課的教學，給學生以完整美的享受．
二、學法引導
1．教學方法：采用直觀演示法，教師注意創設問題情境并及時點撥，讓學生從實例之中自得知識．
2．學生學法：研究實際問題→認識負數→負數在實際中的應用
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1．重點：會判斷正數、負數，運用正負數表示具有相反意義的量．
2．難點：負數的引入．
3．疑點：負數概念的建立．
四、課時安排
2課時
五、教具學具準備
投影儀（電腦）、自制活動膠片、中國地圖．
六、師生互動活動設計
教師通過投影給出實際問題，學生研究討論，認識負數，教師再給出投影，學生練習反饋．
七、教學步驟
（一）創設情境，復習導入
師：提出問題：舉例說明小學數學中我們學過哪些數？看誰舉得全？
學生活動：思考討論，學生們互相補充，可以回答出：整數，自然數，分數，小數，奇數，偶數……
師小結：為了實際生活需要，在數物體個數時，1、2、3……出現了自然數，沒有物體時用自然數0表示，當測量或計算有時不能得出整數，我們用分數或小數表示．
【教法說明】學生對小學學過的各種數是非常熟悉的，教師提出問題后學生會非常積極地回憶、回答，這時教師注意理清學生的思路，點出小學學過的數的精華部分．
提出問題：小學數學中我們學過的最小的數是誰？有沒有比零還小的數呢？
學生活動：學生們思考，頭腦中產生疑問．
【教法說明】教師利用問題“有沒有比0小的數？”制造懸念，并且這時學生有一種急需知道結果的要求．
（二）探索新知，講授新課
師：為了研究這個問題，我們看兩個實例
（出示投影1）用復合膠片翻四次
在冬日一天中，一個測量員測了中午12點，晚6點，夜間12點，早6點的氣溫如下：你能讀出它們所表示的溫度各是多少嗎？（單位℃）
學生活動：看圖回答10℃，5℃，零下5℃，零下10℃．
［板書］
10 5 -5 -10
師：再看一個例子，中國地形圖上，可以看到我國有一座世界最高峰—珠穆朗瑪峰，圖上標著8848，在西北部有一吐魯番盆地，地圖上標著－155米，這兩個數表示的高度是相對海平面說的，你能說說8848米，－155米各表示什么嗎？
（出示投影2）（顯示中國地形圖，再顯示珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的直觀圖形）．
學生活動：學生思考討論，嘗試回答：8848米表示珠穆朗瑪峰比海平面高8848米；－155米表示吐魯番盆地比海平面低155米．
【教法說明】針對實例，教師不是自己一概地陳述而是注意學生參與意識，要學生觀察、動脈、討論后得出答案，充分發揮了學生的主體地位．
教師針對學生回答的情況給與指正．
師：以上實例中出現了－5、－10、－155這樣的數，一般地溫度比0℃高5℃、10℃、1.6℃、℃記作＋5、＋10、＋1.6、＋，大于0的數為正數；當溫度比0℃低于5℃、10℃、2.2℃記作－5、－10、－2.2，像這樣在正數前面加“－”號叫負數；0既不是正數也不是負數．
師隨著敘述給出板書
［板書］
正數：大于0的數
負數：正數前面加“－”號（小于0的數）
0：既不是正數也不是負數．
【教法說明】在以上兩個例子的基礎上，對正數尤其是負數的引入已到了水到渠成的地步，這時教師描述性地指出正數、負數的概念，學生不僅認識了什么是正數與負數，還清楚地知識，正數與負數是相對的．
（三）嘗試反饋，鞏固練習
1．師板書后提問：第二個例子中的8848是什么數，－155是什么數，海平面的高度是哪個數？
2．出示1（投影顯示）
例1 所有的正數組成正數集合，所有負數組成負數集合，把下列各數中的正數和負數分別填在表示正數集合和負數集合的圈里“
－11，4.8，＋7.3，0，－2.7，－，，，－8.12，
3．自己任意寫出6個正數與6個負數分別把它填在相應的大括號里．
正數集合 負數集合
4．（1）某地一月份某日的平均氣溫大約是零下3℃，可用_________數表示，記作__________．
（2）地圖冊上洲西部地中海旁有一個死海湖，圖上標有－392，這表明死海湖面與海平面相比怎樣？
學生活動：1、2題學生回答，3題同桌交換審閱，4題討論后舉手回答．
【教法說明】l題是緊扣上面的例子把正負數應用到實例中去，既呼應了前面，又認識了正負數，2題是通過判斷正數負數滲透集會的概念，3題是讓學生自行編正數負數，以達到自我消化吸收，4題是用實際生活中的典型例子加強對負數的理解和認識，同時也為下一步引出相反意義的量打下基礎．
師：在0℃以上的溫度用正數表示，0℃以下的溫度用負數表示；高于海平面的地方用正數表示它的高度，低于海平面的地方用負數表示它的高度．在實際生活中還有一些與溫度、海拔高度類似的量也常常用正負數表示，你能列出一些嗎？
學生活動：分組討論，互相補充，兩個學生回答．
教師對學生列舉的例子給與適當分析，針對學生回答予以補充鞏固練習：
（出示投影升）
1．填空
（1）－50表示支出50元，那么＋100元表示_____________．
（2）正常水位為0 ，水位高于正常水位0.2 記作______________，低于正常水位0.3記作______________．
（3）乒乓球比標準重量重0.039記作_____________；比標準重量輕0.019記作_____________；標準重量記作______________．
2．一個學生演示，教師提出要求規定向前走為正．
（1）向前走2步記作_________________．
（2）向后走5步記作_________________．
（3）“記作6步”他應怎么走？“記作－4步”呢？
（4）原地不動記作_________________．
（出示投影5）
3．例題
一物體沿東西兩個相反的方向運動時，可以用正負數表示它們的運動．
（1）如果向東運動4 記作4 ，向西運動5記作_______________．
（2）如果－7 表示物體向西運動7 ，那么6表明物體怎樣運動？
學生活動：l題學生審題后回答．2題學生演示，其他學生觀察舉手回答．3題回答．
【教法說明】用正數、負數表示相反意義的量是本節的重點．首先，先讓學生舉出自己所熟悉的相反意義的量，并用正數負數表示，激發學生興趣，這時再出示補充的練習中的1題，學生能非常輕松地回答出來，這時學生有一種非常輕松的感覺，噢！原來正數、負數是用來表示這樣的量的．緊接著，讓一個學生向前后任意走，規定向前為正，讓其他學生觀察，第一次他向哪個方向走了？走了幾步？記作什么？第二次呢？第三次呢？這時學生積極觀察舉手回答，然后讓一個學生提出類似要求“記作＋5應怎樣走？”，這樣在活躍、歡快的氣氛中加深了對正數負數的理解．最后利用例2作為鞏固練習就非常容易了，這一環節就是要學生在一種輕松愉快的氣氛中獲取知識，符合素質教育的要求．
師：通過今天這節課的學習，你能回答老師開始時提出的問題嗎？—有沒有比零小的數？（有，是負數）
1．正數和負數表示的是一對相反意義的量．
2．零既不是正數也不是負數．
八、隨堂練習
1．判斷題
（l）0是自然數，也是偶數（ ）
（2）0可以看成是正數，也可以看成是負數（ ）
（3）海拔－155米表示比海平面低155米（ ）
（4）如果盈利1000元，記作＋1000元，那么虧損200元就可記作－200元（ ）
（5）如果向南走記為正，那么－10米表示向北走－10米（ ）
（6）溫度0℃就是沒有溫度（ ）
2．將下列各數填入相應的大括號里
－9， ，0， ，2000，＋61， ，－10.8
正數集合
負數集合
3．用正數和負數表示下列各量
（1）零上24攝氏度表示為___________，零下3.5攝氏度表示為______________。
（2）足球比賽，贏2球可記作_________球，輸一球應記作____________球．
九、布置作業
（一）必做題
1．下列各數中哪些是正數？哪些是負數？
－16，0.04，＋ ， ， ，0，25.8，－3.6，－4，9651，－0.1
2．一物體可左右移動，設向右為正，
（1）向左移動12 應記作什么？
（2）“記作8 ”表明什么?
（二）選做題
1．一潛水艇所在高度為－50 ，一條鯊魚在艇上方10 處，鯊魚所在的高度是多少？
2．甲地海拔高度是30 ，乙地海拔高度是20 ，丙地海拔高度是－10 ，哪個地方最高，哪個地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？
十、板書設計
隨堂練習答案
1．√ × √ √ × ×
2．正數集合 負數集合
3．（1）＋24℃，－3.5℃；（2）＋2，－1
作業答案
（一）必作題
1．0.04， ， ，25.8，9651是正數；
－16， ，－3.6，－4，－0.1是負數；
2．（1）向左移動12 記作 ；
（2）記作 表明物體向右移動 ．
（二）選作題
1． ．
2．甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高 ．
正數與負數（二）
一、素質教育目標
（一）知識才學點
1．理解有理數的意義．
2．能把給出的有理數按要求分類．
3．了解數0在有理數分類中的作用．
（二）能力訓練點
培養學生樹立對數分類討論的觀點和能正確地進行分類的能力．
（三）德育滲透點
通過聯系與發展、對立與統一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育．
（四）美育滲透點
通過有理數的分類，給學對稱美的享受
二、學法引導
1．教學方法：啟發引導，充分體現學生為主體，注重學生參與意識．
2．學生學法：識記→練習鞏固．
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1．重點：有理數包括哪些數．
2．難點：有理數的分類．
3．疑點：明確有理數分類標準．
四、教具學具準備
投影儀、自制膠片．
五、師生互動活動設計
教師用投影出示練習題，學生討論解決，教師引導學生對有理數進行分類，學生以多種形式完成訓練題．
六、教學步驟
（一）復習導入
（出示投影1）
1．把下列各數填入相應的大括號內：
＋6， ，3.8，0，－4，－6.2， ，－3.8，
正數集合
負數集合
2．填空：
（1）若下降5 記作－5 ，那么上升8 記作__________________，不升不降記作_____________________．
（2）如果規定＋20表示收入20元，那么－10元表示______________．
（3）如果由 地向南走3千米用3千米表示，那么－5千米表示____________________，在 地不動記作__________________．
【教法說明】出示投影后，學生思考，然后舉手回答問題．當學生回答完一題后．教師追問：你能不能說說什么叫正數，負數呢？0是正數嗎？是負數嗎？通過第1小題，使學生進一步理解正、負數的概念，以及零的特殊意義．通過第2小題使學生掌握對于兩種相反意義的量，如果其中一種量用正數表示，那么另一種量便可以用負數表示．
師：在小學大家學過1，2，3，4……這是什么數呢？
生：自然數．
師：在這些自然數前面加上負號，如－1，－2，－3，－4……這些是什么數呢？
生：負數．
師：具體叫什么負數呢？
師：今天我們要把大家學過的數分類命名，然后給一個統一的名稱．
【教法說明】通過教師由淺入深層層設問，使學生在頭腦當中逐步認識問題．這樣一步一個臺階的教學過程（www.ycxgx.cn），符合學生認識問題的一般規律．
（二）探索新知，講授新課
1．分類數的名稱
1，2，3，4……叫做正整數；
－1，－2，－3，－4……叫做負整數．
0叫做零．
， ， （即）……叫做正分數；
， ， （即）……叫做負分數；
正整數、負整數和零統稱為整數．
正分數和負分數統稱為分數．
整數和分數統稱有理數．即
【教法說明】以上內容由師生共同參與完成，教師啟發誘導，遵循了由具體到抽象的認識規律．
提出問題：鞏固概念
（出示投影2）
（1）0是整數嗎？是正數嗎？是有理數嗎？
（2）－5是整數嗎？是負數嗎？是有理數嗎？
（3）自然數是整數嗎？是正數嗎？是有理數嗎？
【教法說明】這三道小題主要是檢查學生對概念的理解．新授過程中隨時設計習題進行反饋練習，以便調節回授．
注意：有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的分數，這時分數包括整數，本章中的分數是指不包括整數的分數．
2．有理數的分類
為了便于研究某些問題，常常需要將有理數進行分類，需要不同，分類方法也常常不同，常用的有以下兩種：
（1）先把有理數按“整”和“分”來分類，再把每類按“正”與“負”來分類，如下表：
（2）先把有理數按“正”和“負”來分類，再把每類按“整”和“分”來分類，如下表
嘗試反饋，鞏固練習
（出示投影3）
下列有理數中：－7，10.1， ，89，0，－0.67， ．
哪些是整數？哪些是分數？哪些是正數？哪些是負數？
學生思考，然后找同學逐一回答．其他同學準備補充或糾正．
【教法說明】通過此題，檢查學生對有理數分類的掌握情況，通過對有理數進行分類，培養學生樹立對數分類討論的觀點和正確地進行分類的能力．
3．數的集合
我們曾經把所有正數組成的集合，叫做正數集合，所有的負數組成的集合叫做負數集合．同樣把所有整數組成的集合叫做整數集合；把所有分數組成的集合叫做分數集合；把所有有理數組成的集合叫做有理數集合．
（三）變式訓練，培養能力
（出示投影4）
（1）把有理數6.4，－9， ，＋10， ，－0.021，－1， ，－8.5，25，0，100按正整數、負整數、正分數、負分數分成四個集合．
正整數集合 ，負整數集合
正分數集合 ，負分數集合
（2）把下列有理數：－3，＋8， ，＋0.1，0， ，－10，5，－0.7填入相應的集合：
整數集合 ，分數集合
正數集合 ，負數集合
【教法說明】學生思考后，動筆完成上述第（1）題．一個學生在黑板上板演，其他學生做在練習本上，然后師生共同訂正．從中進一步培養學生分類能力．第（2）題采用分組計分形式，充分調動學生學習數學的積極性，增強學生集體榮譽感．
（四）歸納小結
師：今天我們一起學習了哪些內容？
由學生自己小結，然后教師再總結：
今天我們一起學習了有理數的定義和兩種分類方法．要能正確地判斷一個數屬于哪一類，要特別注意“0”不是正數，但是整數．
【教法說明】課堂小結，采取學生小結的辦法，讓學生積極參與教學活動，歸納出本節課所學的知識．再由教師歸納總結，幫助全體學生進一步明確本節課的重點和應達到的目標．
（五）反饋檢測
（出示投影5）
（1）整數和分數統稱為_______________；整數包括___________________、_________________和零，分數包括________________和__________________．
（2）把下列各數填入相應集合的持號內：
－3，4，－0.5，0，8.6，－7
整數集合 ，分數集合
正有理數集合 ，負分數集合
（4）選擇題：－100不是（ ）
A．有理數； B．自然數； C．整數； D．負有理數．
以小組為單位計分，積分最高的組為優勝組．
【教法說明】通過反饋檢測，既使???癱窘誑嗡??諶藎?值鞫???a href=http://www.baidu.com/baidu?tn=xzhen021&word=學習 target=_blank>學習的積極性和主動性，增強學生積極參與教學活動的意識和集體榮譽感．
七、隨堂練習
1．判斷題
（1）整數又叫自然數．（ ）
（2）正數和負數統稱為有理數（ ）
（3）向東走－20米，就是向西走20米（ ）
（4）溫度下降－2℃，是零上2℃（ ）
（5）非負數就是正數，非正數就是負數（ ）
2．在下列適當的空格里打上“√”號
有理數
整 數
分 數
正整數
負分數
自然數
2
－3.14
0
3．把下列各數分別填在相應的大括號里
1.8，－42，＋0.01， ，0，－3.1415926， ，1
整數集合
分數集合
正數集合
負數集合
自然數集合
非負數集合
八、布置作業
（一）必做題：課本第50頁3、4．
（二）思考題：把下列各數填在相應的集合中
3.14，－5，0， ，89，－2.67， ， ，＋1001
有理數集合
非負有理數集合
負有理數集合
九、板書設計
隨堂練習答案
1．× × √ × ×
2．略
3．整數集體 ；分數集合 ；正數集合 ；負數集合 ；自然數集合 ；非負數集合 ．
作業答案
（一）必做題：課本第50頁
3．正數 負數：
4．正整數集合 負整數集合 正分數集合 負分數集合
（二）思考題
有理數集合
非負有理數集合
負有理數集合
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